第一章T 信号及其描述.pptVIP

奇偶虚实 例1-3 求矩形窗函数w(t) 的频谱 第三节 瞬变非周期信号与连续信号 一．傅立叶变换 （一）确定性信号与随机信号 （二）连续信号与离散信号 （三）能量信号和功率信号 二、信号的时域描述和频域描述 例：周期方波 · x(t)为实函数 → 实部为偶函数 虚部为奇函数 · x(t)为实偶函数→ 为实偶函数， · x(t)为实奇函数→ 为虚奇函数， · x(t)为虚偶函数→ 为虚偶函数， · x(t)为虚奇函数→ 为实奇函数， 了解此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。 → * 由于余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数，有式（1-36）和（1-37）知 （二）对称性 若 证明：由 令 u 和f 对换 令 u = t 所以 证毕 * 0 A -T/2 T/2 t 0 x(t) -3/T -2/T f 3/T 2/T -1/T 1/T 0 AT X(f) x(f) -f0/2 f A f0/2 -2/f0 t 2/f0 -1/f0 1/f0 0 Af0 X(t) （三）时间尺度改变特性 若 证明： （1）当时间尺度压缩（k1）时，见图c 其频谱的频带加宽，幅值降低。 （2）当时间尺度扩展（k1）时，见图a 其频谱的频带边窄，幅值增高。 （3）压缩时间尺度，可以提高处理信号效率，但后续处理频带加宽，容易失真。 （4）扩展时间尺度，处理后续信号容易，但效率太低。 * 0 X(f) -1/2T 1/2T X(f/2)/2 0 0 -2/T 2/T -1/T 1/T AT/2 2AT AT 2X(2f) f f f A x(2t) -T/2 0 T/2 -T T t t t -T/4 0 T/4 x(t) 0 A A x(t/2) 扩展 k=0.5 正常 k=1 压缩 k=2 a) b) c) (四) 时移和频移特性 1．若 （1-40） 证明： 令 t = t-t0 代入上式 所以 式(1-40)说明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改变量 与频率 f 成正比，即 。以表1—1的方波相频谱为例， 其中 ，则基波频率为 相移为 * 三次谐波的频率为 3f0 ，则相移为 2．如 （1-41） 证明： 令 所以 由欧拉公式知式（1-41）左侧是时域信号 x(t) 与频率为 f0 的正、余 弦信号之和的乘积。 * （五）卷积定理 两个函数 和 卷积定义为 若 则 （1-42） （1-43） 证明时域卷积 交换积分顺序 根据时移特性 证毕 证明频域卷积 交换积分顺序 根据时移特性 证毕 * （六）微分和积分特性 由 （1-28） （1-29） 对式(1-29)中t 进行微分 同理 （1-44） 对式(1-28)中f 进行微分 同理 （1-45） 同样可证明 （1-46） * * 三、几种典型信号的频谱 （一）矩形窗函数的频谱 从上例1—3中看出： （1）一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。 （2）在时域中截取信号一段记录相当 x(t)w(t) W(f)*X(f) （3）在 f= 0～ ±1/T 之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。 （4）主瓣宽度为2/T与时域窗宽度 T 成反比，T↑ → 截取时间长，主瓣宽度小。 1 -T/2 T/2 t 0 x(t) Ie Re0 Re0 Re -4/T -3/T -2/T –1/T 1/T;;2/T;; 3/T; ;4/T π f -3/T -2/T f 3/T 2/T -1/T 1/T 0 T W(f) φ(f) 0 （二）δ 函数及其频谱 1．δ函数的定义 在δ 时间内激发一个矩形脉冲 （或三角脉冲、双边指数脉冲、钟 形脉冲等），其面积为1。 当 时，有 （1-47） 从面积（通常称其为δ函数的强度） 的角度看 （1-48） 矩形脉冲 -ε/2 0ε/2 1/ε Sε(t) t 0 1 δ(t) t δ函数 * 2．δ函数的采样性质 由于δ(t)函数的性质 强度为f (0) 的δ(t)函数 从数值上看 从面积（强度）看则为 f (0)，即 (1-49) 同理，对于有延时t0的δ函数δ(t-t0)，它与f (t)乘积只有在t= t0时刻不等于零 即 积分 (1-50) 从式（1-49）和（1-50）表明 （1）任意函数f (t)与δ(t -t0)的乘积是一个强度为f (t0)的δ函数δ(t -t0)。 （2）该乘积在有限区间的积分是f (t)在t