新北市102学年度中小学科学展览会作品说明书.PDFVIP

新北市 102 學年度中小學科學展覽會 作品說明書 科 別：數學科 組 別：國小組 作品名稱：彈珠漫『談』─談起有趣的『巴斯卡三角』 關 鍵詞： 巴斯 卡三角 、 排列組合 、 機率 編 號： 1 彈珠漫談─有趣的『巴斯卡三角』 摘要 從夜市彈珠台玩彈珠遊戲開始，我們從彈珠滾落的軌跡，隱藏『巴斯卡三角』數學概念 。 由此進入 『巴斯卡三角』的數學世界，從 『巴斯卡三角』之中發現它在國中數學代數的 應用，以及它在高中數學排列組合、機率的使用，非常廣泛，讓我們窺得 『巴斯卡三角』 豐富的堂奧。 壹、研究動機 今年寒假爸爸帶我到台北的寧夏夜市吃小吃 ，夜市有很多遊戲，其中『玩彈珠』的遊戲 我最喜歡，我們玩了200 元，覺得很不過癮，爸爸為了我竟然還花了500 元 ，買了一個小型 迷你 『彈珠台』讓我玩，真的好感謝他！為了不辜負老爸的苦心，開學後我居然將這個迷你 『彈珠台』帶到學校玩，讓班上同學也能一同分享我生命中的小小喜悅！没想到，下課間我 們玩『彈珠台』的哄堂笑聲，不小心地驚動到正在埋案批改作業的導師，他覺得好奇，略帶 關心的神情信步走到我們身後，端詳了好一陣子，隨後笑笑的說：「你們玩的這個彈珠台遊戲， 我小時候也很愛玩，而且這個遊戲裡頭還藏有許多數學的觀念，或許我們還可以用這個遊戲 作為我們今年數學科展的題目喲！加油！！」 導師從他小學到大學的學習歷程，逐一有哪些信誉好的足球投注网站腦海的思維，竟湧出許多思緒與感受，他說： 「彈珠台(圖1)的遊戲分布情形與它的路徑分布(一分為二)所形成的機率分布圖(圖2)是一致 的，發現有此現象的第一人是西方的巴斯卡，他繪出彈珠滑落的路徑與彈珠堆疊的情形圖(圖 3) ，這個圖即是後來我們所說的『巴斯卡三角』」。 圖1 迷你彈珠台 圖2 二項分佈彈珠台機率 圖3 巴斯卡三角 ( 自行手繪) (取自 (取自 /sims/plinko-probab .hk/math/inmath2/in ility/plinko-probability_zh_TW.html) math2.files/mathematician.files/pascal.html) 因為導師的引導，我們遂以『巴斯卡三角』這個題目為題，作為我們科展的題目。想不 到，爸爸買彈珠台『無心插柳』的舉動，竟觸發成我們進行數學科展這個『小小成蔭』，這都 得感謝導師提供的靈感與發想。 貳、研究目的 1. 『巴斯卡三角』的基本概念 2 2. 『巴斯卡三角』衍生的數學觀念 3. 『巴斯卡三角』多方面的應用 參 、研究器材 一、一個小型彈珠台 二、紙與筆 三、統計表 四、電腦軟體Word2007 和PhotoImpact 12(繪圖、記錄、分析、與推論之用) 肆 、研究過程與方法 研究過程一： 我們試著從彈珠自彈珠台上方任一處滾落，其滾落的路徑皆為二選一(非左即右) 之模式(如下圖4 所示) ，古人云：『歧路亡羊』，其意如此！球(彈珠)遇歧路，路中有 路，其路皆會遭遇『左』與『右』兩路，無論『左』路，抑或『右』路，皆會『路 中有路，路分「左」、「右」二路』，無窮無盡！ 接著我們將上述之圖4 試著轉化成西方人巴斯卡所畫的圖形(圖5) ，以利探討， 因為巴斯卡所繪之圖形(後人稱為巴斯卡三角) ，除了將圖4 的路轉畫成工整的蜂窩 狀通道，其圖形最下方處猶畫有各通道(路徑) ，彈珠可能落入之球數，更能有意義 表達其存在的數學意涵 。 (圖4) (圖5) 研究過程二 ： 『巴斯卡三角』的數學意涵(暫以5 層結構作為討論)