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数学解题方法的选择性例谈 数学概念教学如果说是数学教学的核心的话，那么数学解题教学是数学教学的重点和难点．我们知道，概念是数学的基础，但是在具体情境问题中，如何运用概念、定理、性质，却是一门不折不扣的解题学问和解题艺术．高考问题研究专家陕西师大罗增儒教授说过：一个问题的解决方法有很多种，有些方法是低效的，有些方法则是具备启发性的，教师解题水平的优劣性，就直接导致在解决问题过程中方法的选择性．好的方法耐人寻味、触人深思，这或许就影响到一个学生学习一门学科的兴趣，因此我建议大家要多多学习好的解题方法、开拓思路． 如何寻求好的解题方法是一门学问，这是教师自身水平的一种体现，也是多年教学经验的一种积累．笔者认为对于解题方法的选择，应该从下面四个方面入手去思考：其一，立足通性通法的解答，高考绝大部分考题都是对于通性通法的考查，平时教学中一般以此为根本，不断加固学生对于通性通法的理解和培养；其二，对于思路灵活的学生要因材施教，给予简单解法的指导和培养，这部分学生思路较为活跃，对于通法掌握较为熟悉，介绍简单的方法正是为了开发学生更高的数学思维和素养；其三，培养高等解法，利用高等数学的观点来看待中学数学问题，是近年高考命题的一种趋势和手段，很多稍难的高考试题正是源自高等数学中一个浅显的定理而编制，诸如以阿波罗尼斯圆、阿基米德三角形、向量极化恒等式等等编制的一系列高考问题，都有着浓郁的高等数学背景；最后，适合自身的解法是解题教学最终的目的，有些学生对图形有着天生的敏锐力，而有些学生喜欢严密的代数化运算，因此在多种解答中选择合适自己的方式方法才是解题教学最终的目标． 1 通性通法培养 通性通法是高考数学考查的根本，也是我们数学解题教学中最核心的部分．以往，笔者也聆听过一些复习教学课，某些教师讲问题编制的整整齐齐、类型多样，解答的方式方法千奇百怪，学生听课都是充满各种惊讶的表情和元素，而教师却沾沾自喜、洋洋得意，殊不知这样的课作为教师自身研究是不错的结论小结，但是给予学生来说，完全是一种误导和浪费．考试大纲多次说明，数学科是以考查通性通法为根本的，切忌耗时耗力钻研难题、怪题，否则得不偿失． 案例1：在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若＋＝6cos C，则＋的值是________． 方法选择分析：观察条件，＋＝6cos C?数式中既有边又有角，应统一＋＝6×?将条件转化为简洁形式?a2＋b2＝c2观察结论所求：＋?考虑到在△ABC中的正、余弦定理，切化弦是必由之路?＋＝·（角化边、用条件）＋＝·＝×＝4． 解析：由＋＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C．根据余弦定理，化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将＋切化弦，得·(＋)＝·＝·＝．根据正、余弦定理得 ＝＝＝＝4． 本题也可以从这样的角度选择：观察条件＋＝6cos C（关注数式的特征）边a、b具有轮换性，观察所求结论：＋角A、B具有轮换性（从数式的特征考虑）当A＝B即a＝b时，应满足题意（特殊化思想，可靠吗？）cos C＝（完全转化成三角函数运算）tan2＝＝，即tan ＝tan C＝＝2tan A＝tan B＝＝＋＝4． 说明：数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．本题为江苏省高考题，其通性通法在于对于角化边的选择，是平时教学的一般认识． 2 简单解法渗透 数学中有许多问题使用常规解法固然可敬，但是往往存在一定的简单方法．对于这样的问题，需要教师长时间教学经验的积累，在教学中给予学生合理的指导．这里笔者要指出：简单解法是对通法的一种补充，是对思维灵活学生的一种激励，有助于数学学习的思路开拓性和创新性培养． 案例2：已知，，是平面上三个不同的点，且满足关系式，则实数的取值范围是_________． 分析：本题的通法是首先利用向量关系，代入坐标运算，可以得到横纵坐标之间的两组方程，可以想象这里的两个方程，一个是关于横坐标之间的等式关系，一个是关于纵坐标之间的等式关系，这两个方程中设计到5个未知量，分别是、、、以及，加上两个隐含方程和共四组方程5个未知数，从理论上可以认为通过化简手段得到的关系式，进而利用函数思想求解．但是细细一想，通法最大的困扰是如何将复杂的四个方程组进行化简，即便简化了对这个较为复杂的函数如何求其值域？因此，对于本题的简单解法渗透是必须思考的．我们一起观察、两点，可以发现它们一定出现在一个定曲线椭圆上，此时点恰为该定曲线的左焦点，利用向量共线知识，则简单解答更有另一番风景． 解析：发现、两点坐标满足椭圆方程，且点恰为其左焦点，构建如图1所示图形，由，因此，所以． 说明：从本题我们可以看出，