数学型态学.PDFVIP

單元九、數學型態學 陳慶瀚 2004-11-23 1965 : Georges Matheron Jean Serra 發表« morphologie mathématique» 1965 : 二維 、二值化型態學 1973 : 迭代式型態學演算法(細線化, 骨架抽取) 1978 : 灰階型態學、分水嶺演算法 數學型態學研究中心： Centre de Morphologie Mathématique 1. 集合理論 型態學影像處理是針對影像像素執行集合運算(set operation) 。 將一張二值化的影像表示為N x M大小的像素的集合。則影像中任意像素的位置p可以用[0, N x M-1]來表示 ，一個像素在column x和row y ，則其位置為p = x+Ny 。如果已知像素的位置為p ， 則 x = p mod N y = p/N 定義 設A和B是兩個集合。 如果像素a的index在A集合中，定義 a ∈ A ，如果a不在A集合中，則a ∉ A 。 如果 A 集合中的每一個元素都同時存在於 B ，則A 是 B 的子集合，表示為 a ⊆ A 也就是對於所有的a ∈A ⇒ a ∈B A和B的聯集(Union)表示為 C = A∪B 在A或在B的所有元素的集合。 C = {p|p ∈ A or p ∈ B (or both)} 假設A是N ×M 影像G當中白色物件像素的集合，黑色像素表示背景， 物件的座標可以表示為 p = WHERE(A) x = p mod N y = p/N 集合運算 A和B的交集(intersection)： D = A∩B = {p|p ∈ A and p ∈ B} 如果A和B沒有共同的元素，則 A∩B =∅ ∅稱為空集合 A集合的補集(complement)是影像G當中所有不屬於A的元素集合: c A = {w|w ∈ G and w ∉ A} 集合A和B的差集(difference)定義為 c A − B = {w|w ∈ A and w ∉ B} = A∩B 集合A的反射集(reflection)Â定義為 A集合所有元素相對集合原點(不一定是影像座標原點)的反射值的集合 //Doing row reflection xr=x yr=2*yc-y //Doing column reflction xr=2*xc-x yr=y //Doing row and column reflction xr=2*xc-x yr=2*yc-y 影像的平移(translation)運算 給一個向量 x ，則集合 A 的平移運算, A + x,定義為: A+x = { a+x|a∈A} Minkowski 集合運算 Minkowski 加法 A ⊕B U(A +b) b∈B Minkowski 減法 A B I(A +b) b∈B 2. 基本的型態學影像處理 在離散空間(discrete space)Z2 ，考慮一張二值化影像為一個具有兩個離散變數的函數。我們 定義影像中的物件A 為所有具有共同屬性的像素的集合: A = { a|property(a)==TRUE } 至於A的背景則表示為Ac (A的補集) : Ac = { a| a ∉ A } 膨脹(dilation)和 浸蝕(erosion) 型態學影像處理最基本的運算是膨脹(dilation)和浸蝕(erosion) 。其運算的原理是將影像A 與 一個區域視窗(local window)─稱為結構元素 structuring element(SE) B)的特定集合運算，其結 果為一個新的濾波影像。 建立在 Minkowski 集合運算，膨脹(dilation)和浸蝕(erosion)定義如下