数列求和的若干方法.docVIP

浅谈高中数列求和方法 宜宾市屏山县中学校 熊林 摘要：数列求和是一个复杂的数学问题，是高中教学的重难点之一，也是高考重点考查的内容之一。本文主要是针对中学数学中涉及的数列求和问题进行探讨，学生对本章内容存在很大的疑问，这就要求学生不但要掌握等差数列、等比数列的求和公式，还要掌握常见的求和方法，比如错位相减法，倒序相加法，分组求和法，裂项相消法及一些非等差、等比数列但可以转化为等差、等比数列的求和问题。本文将主要以高考题为例讲解数列求和的以上各种方法。 关键词：数列，求前项和 引言 数列求和是高中数列章节中的重要部分，也是整个高中数学的重要知识，高考的常考点；本文探讨实在学习了整个高中知识框架以后，从知识体系入手，对数列求和方法烦人补充完善，也是对数列深层次应用能力的提高，让高三学生在最后的学习冲刺中获得知识，加深印象，巩固学习方法，最终获得成功。 数列求和的几种方法 一般数列求和 一般数列求和实质上是转化与划归思想的一个具体应用，即通过对通项公式的形式进行化简变形，从而改变原数列的形式，将一个不能直接求和的数列转化为等差数列、等比数列或一些常见数列，从而达到求和目的。一般数列的求和问题的技巧在于从数列的通项入手，对通项公式进行恒等变形。 2.1公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法，常用的有以下一些公式： 等差数列求和公式： 等比数列求和公式： 自然数方幂和公式： 4、 例1、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）令求数列的前项和． 解：（1）由已知得解得． 设数列的公比为，由，可得． 又，可知，即， 解得．由题意得． ．故数列的通项为． （2）由于由（1）得 ， 又 是等差数列． 故． 点评：本题是直接利用公式求和的典型例题，在做题过程中，一定要注意目的性，由数列的通项公式，求出数列的通项，然后利用等差数列的前n项和公式直接求解。 2.2错位相减法 错位相减法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于数列的前项和，其中分别是等差数列和等比数列。如求数列的前项。 例2：在数列中， （I）设，求数列的通项公式. （II）求数列的前项和. 解：（I）由已知条件得 利用累加法可求出数列的通项公式: () （II）由（I）知, = 易知,又是一个典型的错位相减法模型， 易得 = 例3、设数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且==1，=21，，求数列的{}的前项和. 解析：为等差数列，为等比数列，故求和可用错位相减法。 解：易知， ． ，① ，② ②－①得， ． 点评：1、要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； 2、写出的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确的写出的表达式。 3、应用等比数列求和公式必须注意公比1这一前提条件，如果不能确定公比是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常出现。应用时应引起高度重视。 2.3倒序相加法 将一个数列正着写和倒着写，再相加，若有公因式可提，并且剩余的式子易于求和，则这样的数列可用倒序相加的方法求和，这也是课本中等差数列求和的方。 例4：求证： 证明： 设………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 （倒序） 又由可得 …………..…….. ② ①+② （反序相加） ∴ 点评：1、此方法是课本中等差数列求和的方法，一般就是将若干项和转化为某 项积的方法，故要善于抓住他们的特点，利用整体运算简化求和。 2、倒序相加后的式子一定要易于求和。 2.4 分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。但可把数列的每一项适当拆分，使其转化为几个等差、等比或常见数列，分别求和，然后再合并。如（可转化为等差和等比的分别求和）或（可转化为自然数幂和等差的求和）。 例5：数列的前项和数列满足 （Ⅰ）证明数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和。 解析：（Ⅰ）由， 两式相减得：， 由定义知是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ） 等式左、右两边分别相加得： = 例6：设的通项公式为. 定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求数列的前项和公式； 解：w.（Ⅰ）由题设条件，得，解，得