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数列知识精要 数列 [数列的通项公式] [数列的前n项和] 等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 [等差数列的判定方法] 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。 [说明]该公式整理后是关于n的一次函数。 [等差数列的前n项和] 1． 2. [说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 对于等差数列，若，则。 也就是：，如图所示： 3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示： 4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质： 前n项的和 当n为偶数时，，其中d为公差； 当n为奇数时，则，，，，（其中是等差数列的中间一项）。 5．若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为， 则。 等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。 [等比中项] 如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么，即。 [等比数列的判定方法] 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 [等比数列的通项公式] 如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。 [等比数列的前n项和] 当时， [等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 对于等比数列，若，则 也就是：。如图所示： 4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示： [练习] 1．数列中，，，若是等差数列，则 ；若是等比数列，则 ； 2．在等差数列中，若，则 ； 3．两个等差数列，它们的前n项和之比为，则它们的第9项之比为 ； 4．等差数列的公差为，且，则 ； 5．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求此数列的中间项；