人教版高中数学必修⑤《正余弦定理的应用》教学设计.docVIP

课题：必修⑤正、余弦定理的应用 三维目标： 1．知识与技能 （1）能够运用正弦定理、余弦定理知识和方法解决一些有关测量距离底部不可到达的物体高度测量有关计算角度实际问题了解常用的测量相关术语能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用）重点： 二、 创设情境 合作探究： “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，研究如何测量距离、高度等问题……。 ●应用之一：【距离测量问题】 问题.1如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离（不可到达）。在这一岸定一基线CD，现已测出CD=a， ∠BCA=，∠ACD=，∠BDC=,∠ADB=。请设计一种方案求AB的长。 【分析】此题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。 【解析】 【点评】实际问题的转换。注意正弦余弦定理的应用。可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 【变式练习】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m) 【分析】这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。 【引领学生层层推进】 【解析】根据正弦定理，得 = AB = = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米 【点评】解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. ●应用之二:【高度测量问题】 问题.2AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。 【分析】求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。 【解析】选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得 AC = AB = AE + h = AC+ h = + h 【点评】要审清题意，有的同学可能会忘记加上h ，此题又进一步体现了怎样根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型…… 【变式练习】用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是，已知B、D间距离为a,测角仪的高度为b,求气球的高度。 问题.3如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的俯角。已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD 【解析】在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理, = 所以 AB == 解RtABD中,得