有限元及其分析---第1章 绪论.ppt

第一章 绪论 交通学院车辆工程系 李红艳 联系方式 lihongyan@sdut.edu.cn 交通实验楼北楼449房间 1.1有限元法国内外发展概况 1.2 有限元法的基本理论 1.3有限元法的特点 1.4有限元法的应用 1.1有限元法国内外发展概况 有限元法的定义（FEM） 有限元法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而整体逼近的研究思想求解物理问题。 有限元法的基本思想 1 ）离 散 化 ——将物体或解域离散为有限个互不重叠仅通过节点相互连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件 。 2）分片近似 ——在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数。 3）求解方程。基于与原问题数学模型（基本方程和边界条件）等效的变分原理或加权残值法，建立有限元方程（即刚度方程），从而将微分方程转化为一组以变量或其导数的节点为未知量的代数方程组，进而借助矩阵和计算机求解代数方程组得到原问题的近似解。 有限元法的历史 20世纪40年代，1943年R.Courant求解扭转问题 1956年波音公司的Turner Clough等人分析飞机结构 1960年Clough题为“平面应力分析的有限元法”中使用有限元法（the Finite Element Method） 1963年，J.F.Bessling，Melosh和Jones等人证明了有限元是基于变分原理的里兹法的另一种形式，它可以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。 60年代后期，J.T.Oden等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式，并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。 1972年，J.T.Oden出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著《非线性连续体的有限元法》。 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交单元的概念。1967年，O.C.Zienkiewice和Y.K.Cheung(张佑启)出版了第一本有关有限元分析的专著《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。 近几十年来，有限元法得到了迅速发展，已出现多种新型单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等）。自动网格划分和自适应分析技术的采用也大大加强了有限元法的解题能力。 有限元法的通用性及其在科学研究和工程分析中的作用和重要地位，众多著名公司更是投入巨资有限元分析软件，推导了有限元分析软件的巨大发展。 目前在市场上得到认可的国际知名的有限元分析通用软件有ANSYS、MSC/NATRAN、MSC/MARC、ADINA、ABAQUS、ALGOR、COSMOS等，还有一些适用特殊行业的专用软件，如DEFORM、AUTOFORM、LS-DYNA、VPG、ROMAX等。 1.2 有限元法的基本理论 有限元法起源于弹性力学问题的求解，本节将通过弹性力学问题来介绍有限元法的基本理论。弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷（或温度）作用下应力和变形分布规律的一门学科。其具体描述就是从静力学、几何学和物理学三方面进行分析，建立描述弹性体变形状态、应力状态的弹性力学的基本方程。基本方程主要由平衡微分方程、几何方程和物理方程。 1.2.1 变分法 范函：函数的函数 变分：函数的求导 弹簧—质量系统 弹性梁 1.2.2 Rayleigh-Ritz方法 在Rayleigh-Ritz方法中，首先假设一组符合于边界条件的试探函数（Trial Solution Function）,并将其函数代入能量方程式，再试将探函数的各系数作微分并令为零，找出能量方程式的最小值，最后解出试探函数的各系数。 影响因素: 1)边界条件 2)参考坐标系的建立 以三角函数为试探函数 例.受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解 1、仅仅取1项试函数时，由此方法得到的结果与精确解的相对误差为0.3861%。 2、仅仅取2项试函数时，由由此方法得到的结果与精确解得相对误差为-0.027%。 以幂级数（Power S