高考数学复习第2课 四种命题和充要条件.docxVIP

第2课 四种命题和充要条件(本课时对应学生用书第4~5页)自主学习　回归教材1. (选修2-1P8习题1改编)将命题“斜率相等的两直线平行”改为“若p则q”的形式为: ;它的逆否命题是: .[答案]若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行若两条直线不平行,则这两条直线的斜率不相等2. (选修2-1P7练习2改编)命题“若x0,则x20”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为　.[答案]2[解析]原命题为真,所以逆否命题为真;逆命题为“若x20,则x0”为假命题,所以否命题为假.3. (选修2-1P20复习题1改编)判断下列命题的真假.(填“真”或“假”)(1) 命题“在△ABC中,若ABAC,则CB”的否命题为　命题.(2) 命题“若ab=0,则b=0”的逆否命题为　命题.[答案](1) 真　(2) 假4. (选修2-1P20复习题7改编)已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则r是q的　条件,p是q的　条件.[答案]充要　必要[解析]q?s?r?q,所以r是q的充要条件;q?s?r?p,所以p是q的必要条件.1. 记“若p则q”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p”,逆否命题为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假,即等价,原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价.因此,四种命题为真的个数只能是偶数.2. 对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,记作p?q,称p是q的充分条件,q是p的必要条件;当它是假命题时,记作pq,称p是q的非充分条件,q是p的非必要条件.3. ①若p?q,且qp,则p是q的充分不必要条件;②若pq,且q?p,则p是q的必要不充分条件;③若p?q,且q?p,则p是q的充要条件,记作p?q;④若pp,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.4. 证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)要点导学　各个击破命题真假的判断例1　在△ABC中,已知命题p:若C=60°,则sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C.(1)求证:命题p是真命题;(2)写出命题p的逆命题,判断逆命题的真假,并说明理由.[解答]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)因为C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos 60°,即c2=a2+b2-ab.由正弦定理==,得sin2C=sin2A+sin2B-sin Asin B.故命题p是真命题.(2)命题p的逆命题:在△ABC中,若sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,则C=60°.它是真命题.证明如下:由sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C和正弦定理得c2=a2+b2-ab.而由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得cos C=.因为0°C180°,所以C=60°.[精要点评]对于命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.练习　给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实数根”的逆否命题;④若a+b是偶数,则a,b都是偶数.其中真命题是　.(填序号)[答案]①③[解析]①显然正确;②不全等的三角形的面积不相等,不正确;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确;④若a+b是偶数,则a,b都是偶数或都是奇数.[精要点评]对命题真假的判断,正确的命题要加以论证;不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思维方式.在判断命题真假的过程中,要注意简单命题与复合命题之间的真假关系;要注意四种命题之间的真假关系.原命题等价于逆否命题,但原命题与逆命题、否命题都不等价.因此,四种命题中真命题的个数只能是0,2或4.充要条件的判断例2　已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}.(1)若P∪S?P,求实数m的取值范围.(2)是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.[解答]由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P=[-2,10].(1)因为P∪S?P,所以S?P.①若S=?,则m0.②若S≠?,则解得0≤m≤3.综上,m∈(-∞,3].(2) 若“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则满足S=P,即m无解.所以满足条件的m不存在.[精要点评]在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个是条件,哪个是结论;其次,要从两个方面,即“充分”与“必要”分别考查.判定时,对于有关范围的问题可以从集合观点看,如p,q对应的范围为集合A,B,若A?B,则A是