高二竞赛讲义 函数与反函数 3.docVIP

高二数学竞赛班一试讲义 第3讲 函数与反函数 班级 姓名 一、知识要点： 1、函数与映射的定义 函数：若A，B都是非空数集，依对应法则f，若对A中的任意一个数x，在B中都有唯一一个数y与之对应，则称f: A→B为A到B上的一个函数。A称为它的定义域， 集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。 （1）映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。 （2）单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。 （3）满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。 （4）一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。 2、反函数 若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。 例如：函数 的反函数是. 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 二、例题精析 例1．（1）求函数的最小值． （2）若实数满足，求函数的最大值． 例2．求函数的最大值． ．方程一共有 个解. 例4．设是实数，对任意三个实数存在一个以为三边长的三角形，求的取值范围. 例5．（2014华约）（Ⅰ）求证：； （Ⅱ），，若，求证：为奇函数． 例6．（2014华约）已知，，求证：． 例7．设是方程 … ①的根，是系数为有理数的二次多项式，且，求．（华约） 三、精选习题 ．已知为一次函数，若对实数满足 ，则的表达式为（ ）。 A. B.C. D. 2．对a,bR,记max{a,b}=函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是　 ．定义，，若有 四个不同的实数解，则实数m的取值范围是　　　　　　. ．设是正实数. 若的最小值为10，则　　　　　　. ．函数f(x)=的最大值为 ．（2013福建函数图像的对称中心是 7．已知，求的值。 ．设为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张 的方格表中，即在位于第行与第列的交叉处的方格中填入数； 已知表中任一行的各数的乘积皆是，证明：表中任一列的各数的乘积也是． ．设函数，实数满足，， 求的值． 10．（2011安徽）设（是实数），当时，. 求的最大可能值. 11．（04全国联赛）已知是方程的两个不等实根， 函数的定义域为。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：对于，若 。 高二数学竞赛班一试讲义 第3讲 函数与反函数 例1．（1）解：由于 …① 令，此为抛物线方程，其焦点为，准线方程为，记点，则①可以改写为 ，它表示为抛物线上的点到点与到焦点的距离之和：，注意点在抛物线的上方，由于点到焦点的距离等于其到准线的距离：，故当点移至使在垂线上时，的值最小，为，即，所以． （2）解：将根式中的进行适当转换：，于是 ，这样，函数的值就可看成是圆上的动点到圆上的两个定点的距离之和，易知，当，（为定值）时，点的轨迹是一个以为焦点，为半长轴的椭圆， 当点位于的中垂线与圆周最远交点时，值为最大，其值为 ． 例2．解：，则定义域为． 为了从两个根式中移出相同的常数，注意，即 ，令，，为锐角， 又由，即， 令，，为锐角； 所以， ，于是， ，当时等号成立，此时，于是 ，，，而； 即当，取得最大值． 解二：利用， （因为，即， 两边开方便得上式，其中取等号当且仅当）； 因此 ，其中取等号当且仅当，即． ．4 方程的所有解为； 方程的所有解为； 方程的所有解为； 方程的所有解为； 方程的所有解为； 一般地，方程的所有解为 . 例4．解：①恒成立 令 对称轴 ② 最小值两倍最大值 结论： 例5． 例6． 例7．解：因为皆不是方程的根，故方程①没有有理根，因此是无理数； 设，其中为有理数，，据条件，， 则 ，又由条件， ； 即 … ②， 改记，为有理数，②成为 …③， 因此， 即 …④，因为是无理数，则 ，若，由 即，这与方程①无有理根矛