2.16 反函数讲义.docVIP

反函数性质和应用 一．定义：设式子表示是的函数，定义域为A，值域为C，从式子中解出，得到式子，如果对于在C中的任何一个值，通过式子，在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是的函数（是自变量），这样的函数，叫做的反函数 ，记作，即，一般习惯上对调中的字母，把它改写成。 （1）．； ． （3）．与的图象关于对称． 二．求反函数的一般步骤 确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 由的解析式求出 将对换，得反函数的一般表达式，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得） 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。 三．掌握下列一些结论 单调函数一一对应有反函数 周期函数不存在反函数 若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 证明的图象关于直线对称，只需证的反函数和相同。 四．反函数的性质 　　反函数除去具有定义推论中的性质之外，还有以下主要性质. 　　(ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y= 的图像关于直线y=x对称. 　　　这一性质诠释:点(a，b)在y=f(x)图像上点(b，a)在y= 图像上　即b=f(a) a= (a∈A，b∈C) 　　(ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调，则y=f(x) (x∈I)有反函数，并且正反函数具有同一单调性. 　　提醒：单调函数必有反函数，但反之不一定成立.即y=f(x) (x∈I)的反函数存在时，y=f(x)在区间I上不一定是单调的，比如，f(x)=(x≠0)的反函数存在，且它的反函数就是自身，但是f(x)=在区间(-∞，0)∪(0，+ ∞)上不单调. 五、深入探索 　　(ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)= y=f(x)图象自身关于直线y=x对称. 　　(ⅱ)反函数的奇偶性:　 若f(x)为奇函数且存在反函数，则其反函数 亦为奇函数； ②若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数，则其反函数 亦为非奇非偶函数； ③若f(x)为偶函数，则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数. 反函数在高考中常见题型分析 高考对反函数要求是：理解掌握反函数的概念，明确反函数意义、常见符号、求反函数方法、互为反函数间的关系等.难度不大，但逢试必考.本文归纳整理近年来高考试题中出现的题型,供复习时参考. 1、求原函数的定义域 例1(92高考上海卷)函数反函数是，求定义域 解：原出数定义域是反函数值域，的值域是，故函数定义域是 求反函数定义域 例2、函数f(x+1)=log(x+2)+x+2x+3的定义域，求反函数定义域 解：f(x+1)的值域，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是 注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是，不要误认为是,从而出现f(x)的值域不是错误. 3、求函数的值 例3、(2004广西卷)已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则 . 解：易求当时，。解方程和，前者x=-2,后者无解. 则-2. 例4、(2004湖南卷)设是函数的反函数，若，则的值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D． 解: 即，即.求得，。=8，a+b=3,于是=.选（D）. 注;涉及的值时,往往从它的意义入手,通过解方程,得x=,较为简便. 求反函数 例5（2004甘肃卷）函数y=的反函数为（） 解：y=，取常用对数，得2x=lny,x=lny.其中 即y0.因此，反函数是.选（C）. 例6、（2001全国卷）y=2+1(x0) 的反函数（） A y=log, B y=-log C y=log D y=log 解：解方程y=2+1，得x=log, 即y=log.的定义域.故选(A) 注：求反函数解析式要注意其定义域 5、讨论反函数图像 例7、（94全国卷）则的图像是（） 解：研究反函数图像,往往通过观察原函数的图像实现.先研究f(x)解析式。得它是一段圆弧，圆心（0，1），反函数图像也是一段圆弧，圆心（1，0）.故选(B) 例8、(2004福建卷)已知函数y=log的反函数是,则函数的图像是( ) 解:根据性质特征解.=,=, 图像过点(1,1),且其值域为(0,).可见,答案选(C). 6、求字母参数 例9(2001上海卷)的反函数是,的图像过Q(5,2).求b. 解:f(x)的图像必过(2,5),代入,得 b=1. 例10、（2004江苏卷）设k1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点. 已知四边形OAPB