线性代数二复习.pptVIP

定理 (克拉默法则) 如果含有 n 个方程 的 n 元线性方程组 的系数行列式 则方程组 有唯一解 向量组的秩 定义 向量组?1 , ?2 , … , ?s 的极大无关组 所含的向量个数，称为该向量组的秩，记作 r (?1 , ?2 , … , ?s ) . 由于仅由零向量组成的向量组不含有极大无关组,因此规定由零向量组成的向量组的秩为零. 线性方程组有解的判别定理 定理 n 元线性方程组 AX = B 有解的充分必要条件是 r ( A ) = r ( A ) . 如果 在有解的情况下，令 r ( A ) = r ( A ) = r . r = n , 则有唯一解； 如果 r n , 则有无穷多个解， 此时，一般解中有 n – r 个自由未知量. 1. 非齐次线性方程组 对于n 元齐次线性方程组 由于齐次线性方程组的增广矩阵 A 的最后一列 有 元全为零，因此任何情况下都有 r (A) = r (A) ，从而 2. 齐次线性方程组 系数矩阵 A 的秩为 r，那么 (1) 如果 r = n，则该方程组仅有零解； (2) 如果 r n，则该方程组除零解外，还有非 零解，即有无穷多个解. 线性相关性的定义及判别 定义 Rn 中的向量组?1 , ?2 , … , ?s ( s ? 1 ) 称为线性相关，如果存在 R 中 s 个不全为零的数 k1 , k2 , … , ks , 使得 k1?1 + k2?2 + … + ks?s = 0 向量组 ?1 , ?2 , … , ?s ( s ? 1 ) 称为线性无关，如果 k1?1 + k2?2 + … + ks?s = 0 只有当 k1 = k2 = … = ks = 0 时才成立. 由定义可以得到判别向量组 ?i = ( a1i , a2i , … , ani )T , i = 1, 2, … , s 的线性相关性的方法是： 设有 s 个数 x1 , x2 , … , xs , 使 x1?1 + x2?2 + ... + xs?s = 0 . 即 即线性方程组 有非零解，则向量组?1 , ?2 , … , ?s 线性相关； 若它只有零解，则向量组?1 , ?2 , … , ?s 线性无关. 极大无关组的定义 定义 2.11 如果一个向量组的部分组 ?1 , ?2 , … , ?r 满足以下两个条件： (1) ?1 , ?2 , … , ?r 线性无关； (2) 向量组的其余向量都可以表为 ?1 , ?2 , … , ?r 的线性组合 求向量组的极大无关组的方法 求向量组 ?1 , ?2 , … , ?s 的极大无关组并用极大 无关组表示其余向量的方法是： STEP 1: 把向量组中的每一个向量作为矩阵的 一列，构造矩阵 A ; STEP 2: 对矩阵 A 进行初等行变换，并化为阶 梯形矩阵，记为 B ; STEP 3: 若r(A)=s,则向量组的极大无关组即为 其自身，计算结束。若r(A)=rs,转为4 STEP 4: 继续对 B 化为简化阶梯形矩阵C，则 C的主元所在的列对应的向量即为向量组的一个极大 无关组，C的非主元对应的的列的其它元素，即为用 极大无关组表示该列所对应的向量的表示系数. 线性方程组解的结构 1. 齐次线性方程组的基础解系 定义 如果 ?1 , ?2 , … , ?s 为齐次线性方程 组 （2.29）的解向量组的一个极大无关组，则称 ?1 , ?2 , … , ?s为该方程组的一个基础解系. 定理 如果 n 元齐次线性方程组（2.29） 的系数矩阵 A 的秩 r (A) = r n，则该方程组必存在 基础解系，并且它的任意一个基础解系均由 n – r 个 解组成. 一般地，如果xr+1 , ... , xn是方程的n-r个自由未知量， 对 xr+1 , ... , xn 分别取: 非齐次线性方程组解的结构 定理 设非齐次线性方程组 AX = B 满足 导出组 AX = O 的全部解，即 ? = c1?1 + c2?2 + ... + cn-r?n-r 其中 ?1 , ?2 , ... , ?n-r 为导出组的一个基础解系， c1 , c2 , … , cn – r 为任意常数. 则方程组 AX = B 的全部 解可以表为 ? = ?0 + ? = ?0 + c1?1 + c2?2 + ... + cn-r?n-r r (A) = r (A) = r n , 并设 ?0 为其一个特解， ? 为其 向量的长度 定义 设 ? = (a1 , a2 , … , an)T ? Rn ，称 为向量 ? 的长度(或模)，记作 || ? || . 将向量标