线性代数二方阵的行列式b.pptVIP

§1 n阶行列式的定义 证 第一式 再由性质2得第二式. §2 n阶行列式的性质 例 推论2.2 行列式有两行(列)相同，则行列式的值 为零。 证 设行列式D的第i行(列)与第j行(列)相同，则 §2 n阶行列式的性质 例 推论2.3 行列式有两行(列)对应元素成比例，则 行列式的值为零。 证 设n阶方阵A的第i行与第j行对应元素成比例， 即 ajs=kais (s=1,2, …,n)，若k=0,结论成立，若k ≠ 0, 则B的第i行(列)与第j行(列)相同， (由性质2.2知列的情形也成立) §2 n阶行列式的性质 例 =0 -2r1+r2 §2 n阶行列式的性质 性质2.5 即 §2 n阶行列式的性质 或 证 由性质2.1及推论2.3得到. §2 n阶行列式的性质 例1 §2 n阶行列式的性质 例2 §2 n阶行列式的性质 例3 计算行列式 解 §2 n阶行列式的性质 2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，?为常数，m为正整 数，则 ⑴ ??A?=?n?A? ； ⑵ ?AB?=?A??B? ； ⑶ ?Am?=?A?m . 注① 一般的?A+B?≠?A?+?B? ； ② 虽然AB≠BA，但?AB?=?BA? ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵ §2 n阶行列式的性质 证明⑴ ??A?=?n?A? ； 证 设A=(aij),则 §2 n阶行列式的性质 证明⑵ ?AB?=?A??B? ； 证 设A=(aij), B=(bij), 由上节例4知D=?A??B?， 另一方面 §2 n阶行列式的性质 (证毕) §2 n阶行列式的性质 本节学习要求 熟悉行列式的性质与方阵的性质，熟练计算行列式的值。 作业：习题2.2(A) 第1(1)(3)题 习题2.2(B) 第1(1)(3)题 §3 展开定理与行列式的计算 本节教学内容 1. 行列式按一行(列)展开定理 2. Laplace定理 1.行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 §3 展开定理与行列式的计算 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式 §3 展开定理与行列式的计算 定义3.1 在n阶方阵A=(aij)的行列式?A?中，划掉元 素aij所在的第i行和第j列后，留下的元素排成的n-1 阶行列式Mij称为元素aij的余子式，Aij =(-1)i+jMij称 为元素aij的代数余子式. 定理3.1 n阶方阵A=(aij)的行列式 其中Aij为元素aij的代数余子式. (证略) 按第i行展开 按第j列展开 §3 展开定理与行列式的计算 例1 §3 展开定理与行列式的计算 # §3 展开定理与行列式的计算 例2计算行列式 线性代数 第二章 第二章 方阵的行列式 本章教学内容 §1 n阶行列式的定义 §2 方阵行列式的性质 §3 展开定理与行列式的计算 §1 n阶行列式的定义 1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，32,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为?(i1 i2… in). §1 n阶行列式的定义 公式 若排列i1 i2… in中, it之后有kt个数比it小 (t=1,2,…,n-1),则?(i1 i2… in)=k1+k2+…+ kn-1. 例 ?(53421)= ?(52431)= 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列； 例 ?(53421)=9, ∴53421为奇排列； ?(52431)=8, ∴52431为偶排列。 作一次对换 改变了排列 的奇偶性 §1 n阶行列式的定义 定义 将一个排列的两个元素对调，而其余元素 不动，这种构成一个新排列的变换称为对换. 定