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两类非线性波动方程的精确解 尚 亚 东 (西安石油学院 基础部, 陕西 西安 710065) 摘 要: 通过两种不同的方法求出了两类非线性波动方程的一些显式精确解. 第一种方法是直接 方法, 第二种方法是直接方法和假设方法的一种结合. 这两种方法都能精确求解两类非线性波动 方程, 得到的显式精确解包括钟状孤立波解、扭状孤立波解、两种类型的奇异行波解和4种类型的 三角函数形周期波解. 作为特例, 可得到非线性的 Po ch h amm e r2C h ree 方程、对称的m RLW 方程的 显式精确解. 关键词: 非线性波动方程; 直接方法; 假设方法; 精确解; 孤立波解; 行波解 中图分类号: O 175129 文献标识码: A 0 引言 在研究离子声波传播问题时, 考虑到非线性效应和色散效应的共同作用, 文1 ～ 2 提出了 如下两类线性波动方程 u tt - u x x - u ttx x + a (u 3 ) x x = 0, (1) 及 u tt - u x x - u ttx x + a (u 3 ) tx = 0, (2) 其中: a ≠ 0 为常数. 关于 (1) 及(2) 的定性研究和数值计算已有一些文献1 ～ 4 报道. 5 通过选 取初始条件并和直接积分结合求出了(1) (a = - 1 ) 和(2) (a = 1 ) 的钟状孤立波解. 本文提 3 3 出构造 (1) 及 (2) 的显式精确解的两种不同方法. 第一种方法是直接方法, 利用此种方法求出 了(1) 及(2) 的钟状孤立波解, 奇异行波解和正割、余割函数型的三角函数周期波解. 第二种方 法是直接方法和假设方法的一种结合, 即结合假设方法. 利用该方法求出了 (1) 及 (2) 的扭状 孤立波解, 双曲余切型奇异行波解和正切、余切函数型的三角函数周期波解. 作为特例, 非线性 Po ch h amm e r2C h ree 方程、对称m RLW 方程的解可相应得到. 1 用直接方法精确求解(1) , (2) 考虑 (1) 和(2) 的行波解 u (x , t) = u (Ν) = u (k x - Ξt) , (3) 其中: 波数 k 和频率 Ξ 为非零的待定常数. 代(3) 入(1) , (2) 并积分一次分别得到 Ξ2 u Ν - k 2 u Ν - k 2 Ξ2 u ΝΝΝ + a k 2 (u 3 ) Ν = C 1 , (4) 及 (Ξ2 - k 2 ) u Ν - k 2 Ξ2 u ΝΝΝ - a Ξk (u 3 ) Ν = C 2 , (5) 收稿日期: 1997212222. 其中: C 1 , C 2 均为积分常数. 受文6 的启发, 现假设 (4) 及(5) 有如下形式的解 u = A + B sech n Ν, (6) 其中: A , B 为另外两个待定常数. 代(6) 到(4) 及(5) 中, 易证只有 n = 1 才能得到非平凡解. 因 此, 不失一般性, 可设 u = A + B sech Ν. 代入 (4) , (5) 分别得到关于A , B , k 和 Ξ 的两个非线性 代数方程组 - B (Ξ2 - k 2 ) - 3A 2B a k 2 + B k 2 Ξ2 = 0, - 6A B 2 a k 2 = 0, - 3B 3 a k 2 - 6B k 2 Ξ2 = 0, C 1 = 0; - B (Ξ2 - k 2 ) + 3A 2B aw k + B k 2 Ξ2 = 0, 6A B 2 a Ξk = 0, 及 3B 3 a Ξk - 6B k 2 Ξ2 = 0, C 2 = 0.  (7) (8) 为了得到非平凡解, 要假设B ≠ 0, 因此, 得到 (7) 在 a 0 时有实解 A = 0, B = ± - 2 Ξ, k = ± Ξ  , (9) a 其中: Ξ 为非零的任意常数. 而(8) 在 a 0 时有实解 1 + Ξ2