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2017-12-18 发布于贵州
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2. 求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数。 z +1 (1) 2 z −2z z (3) cos z z +1 (1) 2 z −2z 【解】明显z ＝0和z=2都是一阶极点 z +1 z +1 z +1 1 Res[ 2 , z 0] lim z 2 lim − z −2z z →0 z −2z z →0 z −2 2 z +1 z +1 z +1 3 Res[ 2 , z 2] lim(z −2) 2 lim z −2z z →2 z −2z z →2 z 2 z +1 (1) 2 z −2z 1 z +1 t +t2 对于z=∞，令 t 则 2 z z −2z 1−2t 讨论t=0处的留数，t=0是函数的可去奇点，所以 z +1 Res[ 2 , z ∞] 0 z −2z z (3) cos z 【解】满足cos z=0 的z 为函数的奇点，则z=(k+1/2)π (k=0, ±1, ±2, ±3……)，显然是孤立奇点。 π k 由于 (cos ) | sin( ) ( 1) 0 z kπ=+ =− ≠ 1 ( ) z k =+ π 2 2 因此z=(k+1/2)π是一阶奇点。 z 1 z k 1 Res[ , z (k =+ )π] | 1 (−1) (k + )π ( ) cos z 2 (cos z ) z k =+ π 2 2 z (3) cos z