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第 五 章 线性方程组 linear equations 本 章 主 要 内 容 * 1. 线性方程组的一般概念; 2.线性方程组有解的充要条件; 3.线性方程组解的结构; 4.用初等变换解线性方程组阵; 5.线性方程组的应用. 本章将讨论的方程组比第一章利用克莱姆法则求解的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知量的个数不一定相等，即使相等，方程组的系数行列式也不一定不为零。 一般的线性方程组概念： (5.1) 注意：m和n不一定相等！！！ 注意：m和n不一定相等！！！ 注意：m和n不一定相等！！！ 注意：m和n不一定相等！！！ 注意：m和n不一定相等！！！ 若b1=b2=…=bm=0,则称方程组5.1为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组. 第一节 线性方程组有解的充要条件 令： 称之为线性方程组5.1的系数矩阵 为了便于研究，我们将线性方程组(5.1)表成矩阵形式： Ax=b 5.2 若记矩阵A的列向量为: 则由分块矩阵的乘法,方程组(5.2)又可表成以下形式: 5.3 注：5.1、5.2、5.3式是同一线性方程组的不同表示形式！ 表示非齐次线性方程组的其他形式： 称之为线性方程组5.1的 增广矩阵 augmented matrix 齐次方程组的三种不同的表达形式分别为: 5.4 5.5 5.6 对上述方程组，本章主要讨论以下 几个问题： 方程组何时有解？ 在有解的情况下，解的结构如何? 如何求解具体的线性方程组？ 方程组的解 若将 代入方程组后 方程组中的每一个方程都成为恒等式，则称 为方程组的一组解。 因此， 以下三种提法是等价的： 是方程组(5.1)的解 是方程组(5.2)的解向量 1. 2. 向量 由向量组 线性表示的系数为： 3. 对于非齐次线性方程组5.1，以下三种提法是等价的： （1）方程组有解； （2）向量 能由向量组 线性表示； （3）向量组 与向量组 等价。 由等价向量组的性质,立刻有以下结论: 非齐次线性方程组(5.1)有解的充要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,即： 【定理5.1】 非齐次线性方程组解的条件 对于齐次线性方程组 5.4 x1=x2=…=xn=0 总是它的解。所以齐次方程组总是有解的。 x1=x2=…=xn=0 称为5.4的零解或平凡解 对于齐次线性方程组，只需研究其在什么情况下有非零解，以及在有非零解的条件下，怎样表现出其所有解的问题（下节讨论）。 【例5.1】判断下列方程组是否有解: （1） （2） （1）对增广矩阵施行初等行变换， 由此知R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解. （2）对增广矩阵施初等行变换， 由于R（A）=R（B）=2，故原方程组有解. 【解】 注意(1)说明有矛盾方程，（2）没有矛盾方程 141页（习题5- 1） 1）3）