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第九章 定积分 P.204 习题 b 1．按定积分定义证明：∫a kdx= k(b− a) [a, b] a= x x ⋯ x = b 证明 对 的任一分割 T： 0 1 n ，其 Riemann和为 n n n f(ξ )∆x = k( x − x ) = k (x − x ) = k(b− a) ∑ i i ∑ i i−1 ∑ i i−1 T → 0 i=1 i=1 i=1 ，所以当分割的模 n ∑ f(ξ )∆x b 时，积分和i=1 i i 的极限为k(b− a) ，从而∫a kdx= k(b− a) {ξ} i 2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集 ，把定积分看作是对 应的积分和的极限，来计算下列定积分： 1 3 ⑴ ∫0 x dx f(x) = x3 [0, 1] x3 [0, 1] 解 因为 在 连续，故 在 的定积分存在。现在将 i i−1 i x = [ , ] [0, 1] n i n i= 0, 1, ⋯, n ξi n n 等分，其分点为： ， ， 取为小区间 的右端点， 于 是 Riemann 和 为 n n i 1 1 n 1 1 1 3 3 2 2 ∑f(ξ )∆x = ∑( ) = ∑i = ⋅ n (n+1) → (n→ ∞) i=1 i i i=1 n n n4 i=1 n4 4 4 ，所以 1 3 1 ∫0 x dx= 4 1 x ⑵ ∫0 e dx 解 因为 f( x) = ex 在[0, 1] 连续，故 f(x) 在[0, 1] 的定积分存在。现在将 i