关于Minkowski定理证明的注记-河北师范大学学报.PDFVIP

第33 卷/第4 期/ 河北师范大学学报/自然科学版/ Vol.33 No.4 2009 年7 月 JOURNALOFHEBEI NORMAL UNIVERSITY/Natural Science Edition/ Jul.2009 关于Minkowski 定理证明的注记 曹鹏浩, 　张红玉 (河北师范大学 数学与信息科学学院, 河北 石家庄　050016) 摘 :在用Blichfeldt 定理证明Minkowski 定理的过程中, 对于格点对称性及直线斜率的存在性没有进行讨 论, 对其中遗漏的2 种情形进行了补充讨论, 从而改进了原有的证明. 关键词:Blichfeldt 定理;Minkowski 定理;格点;平移 中图分类号:O 157.3　　　文献标识码:A　　　文章编号:1000-5854(2009)04-0434-03 Minkowski1896 年证明了Minkowski基本定理, 从而开创了一个新的研究领域———数的几何.Minkows- ki基本定理在经典数论、丢番图逼近和代数数论中都有重 应用, 它不仅可以导出许多丢番图逼近的著名结 [1] [ 1] 果, 甚至还可以给出二平方和定理 (Euler-Fer at)与四平方和定理 (Fer at-Lagrange)的简洁证明.而关 [2] 于Minkowski 定理的证明也有几种不同的方法, 其中之一就是利用Blichfeldt 定理进行证明 .但在上述的 证明中, 存在2 方面的情形没有进行讨论, 因而证明过程不够完整.本文中, 笔者将对此证明中遗漏的2 种情 形进行补充讨论, 从而改进了原有的证明. 设u 与v 为R2 中2 个线性无关的向量, 那么, 所有形如p =x u+yv (其中x , y 为整数)的点集 Λ称为 由向量u 与v 生成的一般格, 集合 Λ中的点称之为格点.特别地, 若u 与v 为单位正交向量, 则点集 Λ称为 整数格.以下所讨论的格均为整数格. [2, 3] 下面首先介绍2 个定理及利用Blichfeldt 定理 证明Minkowski 定理的原有证明. 定理1 (Blichfeldt 定理)　设 C 为二维平面内面积大于整数n 的点集, 则 C 经过适当平移后, 总能覆盖 至少n +1个格点. [2] 定理2 (Minkowski 定理) 　设 M 为二维平面内关于原点中心对称的有界凸集, 且其面积大于4, 那么 有界凸集M 至少包含 1个非原点的格点. 证　首先对中心在原点O 的有界凸集M 保持相似进行收 缩, 使其面积等于1+ε, 其中 ε为任意正数.由Blichfeldt 定理, M 可以平移到某个位置M ′, 使其至少覆盖2 个格点P 1 与P2 (见图1). 现设 O ′为M ′的对称中心,P ′, P ′分别为格点P , P 关于 1 2 1 2 O ′的对称点.由于 M ′为凸集, 故平行四边形 P P P ′P ′完全 1 2 1 2 含于由M ′及其边界所定义的点集内. 过O ′作直线L ′平行于P P , 且交M ′的边界于Q ′, Q ′, 1 2