精编二面角的求法.ppt

例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°． (1)求证：BC⊥平面AA1CC1； (2)求二面角B一AA1—C的大小． 例4 正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为 ，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D． (1)确定点D的位置，并证明你的结论； (2)求二面角A1—AB1—D的大小． 　　　剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线”． 　　　略解2 在平面A1B1C1内，作DF⊥A1B1于F，连DG，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因为D是A1C1中点，A1B1＝a，所以，，在Rt△DFG，可求得∠DCF=45°． 例5 已知：Rt△ABC的斜边BC在平面 内，AB、AC分别与平面 。成30°和45°角，求平面 与△ABC所在平面所成二面角的大小． * * 前言： 二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，是历年高考考查的重点内容。 二面角的求解有很多种不同的方法，在探究其解法的过程中，能同时对学生考察空间作图能力、空间想象能力、逻辑推理能力等，能通过对二面角的考查来考查学生对立体几何中大多数知识的掌握和运用情况。 纵观近几年高考试卷，二面角成为每年的必考内容。 这里，我们将以小组互动、探究交流的学习方式系统地对二面角的各种求法进行研究学习。。。 。。。 教学目的 1、掌握二面角的定义，掌握二面角的平面角的概念； 2、能熟练做出或者证明二面角的平面角，掌握二面角的几种常用求法，能熟练求解二面角； 3、提高同学们的空间思考能力以及逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。 探究准备： 一、忆一忆： 1、二面角的概念，二面角的平面角的概念，二面角的大小范围； 2、三垂线定理、平面的法向量。 答：1、二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形； 平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 二面角的大小范围： [00 ，1800]; 2、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直； 平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。 （显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 探究准备： 二、想一想： 1、怎样做出二面角的平面角？ 答：1、做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 A B C α β α β α β γ 三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：1．善于利用图中已有的“第一垂线”2．借助第三个平面，作“第一垂线”　　　3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线” 例1 如图2，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值． 探究一： 探究二： 例2、如图：在三棱