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第十四讲 菱形的定义与性质 【知识点复习】 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 菱形 邻边相等 【想一想】 有一组 的 叫做 邻边相等 平行四边形 A D C B 菱形 【菱形定义】 感受生活 你能举出生活中看到的菱形吗？ 三菱汽车标志欣赏 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题： 1.菱形是轴对称图形吗？ 2.菱形有几条对称轴？ 3.对称轴之间有什么关系？ 4.你能看出图中哪些线段和角相等？ 相等的线段： 相等的角： 等腰三角形有： 直角三角形有： 全等三角形有： 菱形ABCD中 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD ∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD A B C D O 2 3 4 5 6 7 8 1 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 菱形的四条边相等 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形 菱 形 的 性 质 已知:如图四边形ABCD是菱形 求证: 菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。 A B C D O 证明(1) 四边形ABCD是菱形 DA=DC(菱形的定义) DA=BC,AB=DC AB=BC=DC=DA (2) AO=CO,AD=DC DB平分∠ADC（三线合一） 同理： DB平分∠ABC； AC平分∠DAB和∠DCB DB⊥AC 思考：菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。 C B D A O 分析： 你有什么发现？ C B D A O E 菱形的面积公式 如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.1m2 ） B A O C D 分析： 菱形花坛ABCD的周长为80m AB=BC=20cm ∠ABC＝60° AC=20cm AO=10cm BO=10cm BD=20cm≈34.64cm 花坛面积S=20cm≈346.4cm2 例1： 如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。 分析： 菱形ABCD DA=AB=BC=CD ∠DAB=60° △ABD是等边三角形 AE+CF=a DF+CF=a AE=DF ∠BAE= ∠BDF=60° AB= BD △ABE≌ △DBF BE=BF, ∠1= ∠2 A B C D E F 2 1 3 ∠1+∠3=60° ∠2+∠3=60° △BEF等边 例2： 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_______ AC=8，BD=6 BO=3，AO=4 AB=5 AO ? BO= AB ? OH OH= 分析： 例3： 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为___________cm2 E是AB的中点 AE=1cm DE丄AB DE= = 菱形ABCD的面积S=2 cm 分析： cm2 例4： 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． （1）求∠ABD的度数； （2）求线段BE的长． （1）菱形ABCD，AB=AD，∠A=60° △ABD为等边三角形 ∠ABD=60° （2）由（1） BD=AB=4 O为BD的中点 OB=2 OE⊥AB，及∠ABD=60° ∠BOE=30° BE=1 分析： 例5：