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2001 年 3 月 纯粹数学与应用数学 M ar 2001 第 17 卷第 1 期 Pure and A pp lied M athem atics V ol17 N o1 过拟合最小二乘估计的相对效率 1 2 刘建忠 , 施红星 ( 1. 宁夏农学院基础课部, 银川 750105; 2. 楚雄师专, 楚雄 675000) 摘 要: 讨论线性回归模型中选入过多的解释变量对回归系数估计的影响, 给出由过 拟合模型求得的最小二乘估计效率的下界. 关 键 词: 线性模型; 最小二乘估计; 最小方差线性无偏估计; 相对效率 中图分类号: O 212. 1 文献标识码:A 文章编号:(2001) 1 前 言 考虑线性模型 = + , = 0, ( ) = 2 , ( 1) Y X E cov I n 其中 为 维观测向量, 为设计阵, 以下约定 是列满秩的, 即 ( ) = , 为随 Y n ×1 n X n ×p X rank X p n ×1 p 机误差向量, 为未知参数. 经典的 - 定理表明: 在上述条件下, 对任一 ∈ , p ×1 Gauss M arkov c R ′的最小二乘估计( ) 等于 ′的最小方差线性无偏估计( ) ; 当实际情况与模型假 c L SE c BLU E 定有所偏离时, 与 通常不再相等. 文献中对 ( ) = ∑≠ 2 时 与 相 L SE BLU E cov I n L SE BLU E ( ) 等的条件以及L SE 的相对效率已有诸多讨论 文[1 ]～ [ 5 ] . 在实际问题尤其是回归分析问题 中, 经常会出现另外两种偏差, 这就是选择的解释变量过多或过少, 我们分别称之为过拟合和 欠拟合; 本文讨论过拟合情形下最小二乘估计的效率, 问题如下: ( ) 实际模型为式 1 , 而我们做最小二乘拟合选用模型为: = + + , = 0, ( ) = 2 , (2) Y X Z E cov I n 其中 为由过拟合变量 次观测组成的 × 矩阵,
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