浅谈琴森不等式.PDFVIP

淺談琴森不等式淺談琴森不等式 淺談琴森不等式淺談琴森不等式 若提及中學時代高中純數中所學過的不等式 ，大多數都會那記起 著名的柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 及平均數不等式 (AM-GM Inequality) ，筆者在此想談另一著名不等式，琴森不等式 (Jenson’s Inequality) 。前面所述及的兩款不等式是由代數的運算出發 (或運算上的特殊組合) ，而琴森不等式則由函數的”凹凸性”入手 ，在 此先說明數學上集和函數凹凸的定義 。 對於一個集 S ，如果對任意 x , y ∈S ，t ∈ [0,1] ，得到結果 tx + (1− t) y ∈ S ，我們稱S 是一個凸集 (convex set) ，直接來說就是所有 在 x 和 y 連接的直線上的點皆在 S 上。我們可發現常見的區間集 (interval) ，如(−2,3) ，[3,10]等都是凸集 。 我們如何界定函數 f 是凸函數呢 ？設f :X ⊂ → ( X 假設為一凸 集) ，若對任意的x , y ∈ X ，λ ∈ [0,1] ，下列的不等式成立： f (λx + (1− λ )y ) ≤ λf (x ) + (1− λ )f (y ) 則 f 在 X 上是凸函數 (convex function) 。反之，若果 f (λx + (1− λ )y ) ≥ λf (x ) + (1− λ )f (y ) 則稱 f 是一個凹函數 。 琴森不等式琴森不等式 琴森不等式琴森不等式 若果 f :X ⊂ → 是一凸函數 ，下列不等式成立： f (λx + λ x + + λ x + λ x ) ≤ λ f (x ) + λ f (x ) + + λ f (x ) + λ f (x ) (*) 1 1 2 2 n−1 n−1 n n 1 1 2 2 n−1 n−1 n n 其中 x ∈ X ，0 λ 1 ，且λ + λ + + λ = 1 i i 1 2 n 證明 對 n = 2 ，因f 是凸函數 ，(*)成立 ； 假設對 n = k ，(*)成立 f (λx + λ x + + λ x + λ x ) ≤ λ f (x ) + λ f (x ) + + λ f (x ) + λ f (x ) 1 1 2 2 k −1 k −1 k k 1 1 2 2 k −1 n−1 k k 考慮 n = k + 1 ， f (λx + λ x + + λ x + λ x ) 1 1 2 2 n−1 n−1 n n λ x + + λ x + λ x = f (λx + (1− λ )⋅ 2 2 n−1 n−1 n n ) 1 1 1 1− λ 1 λ x + + λ x + λ x ≤ λ f (x ) + (1− λ )f ( 2 2 n−1 n−1 n n ) 1 1 1 1− λ