高中数学“极值法”求数列的最大项.docVIP

“极值法”求数列的最大项 　 数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项. 但是如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决. 例 若数列的通项公式，求的最大项. 解：设是数列中的最大项， 则，即 解，得， 又∵， ∴或9，. 当时，， ∴的最大项为. 对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法. 疑问1：为什么要单独讨论的情况？ 分析：由于这个不等式中出现了下标，而数列中的项应该从1开始，因此，即。故应考虑的情况. 疑问2：用这个不等式组求出的一定是最大项吗？ 分析：用求出的不一定是最大项，而只是比前后两项都不小的项，也就是数列这个特殊函数的极大值. 疑问3：用这个不等式组求出的项唯一吗？ 分析：正如一个函数可能有多个极大值一样，一个数列中很有可能存在很多个比前后两项都不小的项，因此这样求出的项不唯一. 疑问4：如果用这个不等式组求出的有多个，那么如何处理？ 分析：将求出的这些对应的项比较大小，取最大者，然后与比较. 疑问5：为什么要与比较？ 分析：由于这个不等式组求得的是时的最大项，因此还需要与比较，二者最大的即为的最大项.正如我们在求函数最大值时，采取比较端点值和极大值的方法，原理是一样的. 疑问6：若不等式组无解，又该如何处理？ 分析：若此不等式组无解，那么此数列无极大项，因此最大项只可能在首项或末项取得.这与当函数无极大值时，最大值必在端点处取得的原理一致. 疑问7：若求得两个相邻的正整数，也要比较这两项的大小吗？ 分析：像本道例题中，或9，而我们发现，同为该数列的最大项.对于一般数列，若用这种方法求出两个相邻的正整数，则.因此，它们对应的项大小相等，不必另行比较. 疑问8：若数列对应的函数具有单调性，也能用这种方法求其最大项吗？ 分析：若函数具有单调性，则不等式组无解，问题又回归到疑问6，最大项即为首项或末项（若该数列是有穷数列，只需比较首、末两项，择其大者，即为最大项；若该数列是无穷数列，则最大项要么为首项，要么不存在，视该数列的单调性而定）. 通过对上述疑问的一一分析，对其进一步探究，我们发现：“极值法”求数列最大项的原理与“极值法”求函数的最大值一致.因此，我们可以得出结论：“极值法”求数列最大项是求数列最大项的通法. 可见，只要我们对问题深入分析研究，找出各知识点之间的联系，我们的眼界就会更加开阔，对知识的理解也会更进一步.聪明的同学们，你们也可以试着用同样的思路去研究求数列最小项的方法，锻炼一下自己吧！