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第11章 函 数 11.1 函数和选择公理 11.2 函数的合成和函数的逆 11.3 函数的性质 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射 构造从A到B的双射函数 构造从A到B的双射函数（续） 构造从A到B的双射函数（续） 构造从A到B的双射函数（续） 三、A 与自然数集合之间构造双射 例： A=N×N， B=N，构造双射 f：A→B 将A中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： 0,0 1,0 2,0 3,0 …… 0,1 1,1 2,1 3,1 …… 0,2 1,2 2,2 …… 0,3 1,3 …… 0,4 …… 则n,m对应所表示的函数是： 11.1.3　常用的函数 集合的特征函数 自然映射 11.2 函数的合成与函数的逆 函数的合成 设 g：A→B f：B→C，则 (1) f °g是函数　 f °g： A→C (2)对?x?A，有 (f °g)(x)= f (g(x)) 说明： 函数合成后还是函数。 只有当两个函数中一个的定义域与另一个函数的值域相同时，它们的合成才有意义。且 dom(g)=dom(f °g) 实例： 设g:R?R, f:R+?R, g(x)=x+1, f(x)=lnx ，则 g°f(x) =g(f(x)) =g(lnx) = lnx+1 函数合成的性质 定理11.2.2 设 f：B→C, g：A→B.? 则有 若 f 和g 都是满射的, 则 f°g也是满射. 若 f 和g 都是单射的, 则 f°g也是单射. 若 f 和g 都是双射的, 则 f°g也是双射. 证明：若 f 和g 都是满射, 则 f°g也是满射. 证： ?c∈C, ∵ f 是满射, ∴ 必?b∈B, 使得 f(b)=c. 对这个b, 又 ∵ g 是满射, ∴ 必?a∈A, 使得 g(a)=b. 由合成定理有： c = f(b)= f(g(a))= f°g(a) 证毕. 函数合成的性质 定理11.2.3 设 f：B→C, g：A→B.? 则有 若 f°g是满射.　则f 是满射的 若 f°g是单射.　则g是单射的 若 f°g是双射.　则f 是单射的，g 是满射的。 设 f: B→C, g: A→B,举例说明: f°g是满射，但 g不是满射。 设：A={a1,a2}, B={b1,b2}, C={c}, 定义函数如图，则 f°g(a1)= f°g(a2)=c 函数合成的性质 定理11.2.3 设 f：B→C, g：A→B.? 则有 若 f°g是满射.　则f 是满射的 若 f°g是单射.　则g是单射的 若 f°g是双射.　则f 是单射的，g 是满射的。 设 f: B→C, g: A→B,举例说明: f°g是单射，但 f 不是单射。 设：A={a1,a2}, B={b1,b2,b3}, C={c1,c2}, 定义函数如图， 则 f°g(a1)=c1, f°g(a2)=c2 11.2.2　函数的逆 任给函数 f, 它的逆f ?1不一定是函数, 是二元关系. 实例： f ={a,b,c,b}， f ?1 ={b,a,b,c} 定理11.2.6 设 f：A→B是双射函数，则 f 的逆关系f ?1 是B到 A的双射函数。 例如， 设A={1,2,3}，B={a,b,c}。 　　　　　　 f={?1, a ?,?2, c ?,?3, b ?} 显然，f是A到B的双射函数。 f的逆关系 f ?1 ={?a,1?,?c,2?,?b,3?} 是B到A的双射函数，记为f ?1 。也称为反函数。 函数的逆 定理11.2.7 若f：A→B为双射函数，对?x∈A, 有f -1(f(x))=x,对?y∈B, 有f(f-1(y))=y。 反函数的性质 对双射函数 f：A→B，有 f ?1°f = IB, f°f ?1 = IA 对双射函数 f：A→A, 有 f ?1 °f = f°f ?1 = IA 例：设A={0,1,2}, B={a,b,c}, f：A→B, f={?0,c?,?1,a?,?2,b?} 解： f -1={? a,1?,?b,2?,?c,0?} f -1°f ={?0,0?,?1,1?,?2,2?}＝ IA f°f -1={?a,a?,?b,b?,?c,c?}＝ IB 11.3　函数的性质 定义11.3.1 设 f：A→B