高中数学奥林匹克基础教程1.21.docVIP

高中数学奥林匹克基础教程 江苏沛县 孙统权 教 学 计 划 第一讲 赛题选例 第二讲 组 合 第三讲 组合几何 第四讲 极端原理 第五讲 抽屉原理 第六讲 图 论 第七讲 数 论 第八讲 轨 迹 前 言 2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。 教程共8讲，每讲4学时，共32学时。指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为 “参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。 对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。 本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。 本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。 本版版本号1.2。编者电子信箱：suntrain@yeah.net。 第一讲 赛题选例 一、课堂讨论： 证明：任何四面体上都存在一个顶点，可以用由它发出的三条棱组成三角形。 用不在形内相交的对角线将正奇数边形划分为一系列三角形。证明：其中有且只有一个锐角三角形。 证明：可以找到4个绝对值大于10000的整数a,b,c,d，使 。 能否用两个边长小于1的正三角形盖住一个边长等于1的正三角形？ 能否用两个半径小于1的圆盖住一个半径等于1的圆？ a0，为了能盖住一个边长为4a的正方形，最多需要几个半径为3a的圆？ 数学老师让课代表走出教室，接着让学生随意在黑板上写上十几个数字，然后老师擦去一个数字，让课代表进来。结果发现课代表居然能准确地猜出被擦去的数字，且屡试不爽。请问这里面可能有什么秘诀？ 二、课后思考： 对于整数n3，我们用n?表示所有小于n的素数的乘积。解方程：n?=2n+16 在黑板上写有100个分数，它们的分子刚好为整数1-100各出现一次，分母也是这样。这100个分数之和可化为分母为2的最简分数。求证：可以交换某两个分数的分子，使这100个分数之和可化为分母为奇数的最简分数。 10个人聚会，每个人在其余与会者中都至少有5个熟人。证明：可以从他们中叫出4个人围成一圈，使每两个邻座都是熟人。 平面上有25个给定点，其中任何3点中都有两个点的距离不大于1。证明：可以用1个单位圆至少盖住其中13个点。 在凸20边形的每个定点上都写有两个不同的数。证明：可以从每个顶点上划去一个数，使得任意两个相邻顶点上剩下的数都互不相同。 6 将边长为n的正三角形的每边n等分，过每个分点分别作另两边的平行线。得到若干个单位正三角形。设f(n)是从最上面的单位正三角形到最下面一行中间的单位正三角形的通路的数目，求f(2005)的值。（05年加拿大奥林匹克） （通路是指可以从一个单位正三角形走向另一个与其有公共边，且与其在同一行或在其所在行的下一行。同时，每个单位正三角形不能经过2次或2次以上。如图是n=5的一条通路的例子。） 第二讲 组 合 上一讲思考题讨论 组合问题讨论： ● 在数学竞赛中，组合题泛指非常规数学问题。这类题目往往只是涉及常识性知识，然而相当灵活。 1 已知平面上10个圆，任意两个都相交。是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论。 2 在一张矩形纸上画有一个圆。米老鼠在其中选了一个点，让唐老鸭猜。唐老鸭在纸上每指出一个点，米老鼠就告诉他是否猜中，如果没有，就告诉他离被猜点有多大距离。唐老鸭带着刻度尺和圆规。问：他至少要猜几次，才能一定猜出米老鼠所选的点？怎样猜？ 教室里有n排椅子，每排n张，每张椅子上坐一个学生。现在有求按以下规则调换座位：(1)每个学生必须换到新的座位上；(2)每个学生只能换到相邻（前、后、左、右）的座位上（允许两个学生互换座位）。 证明：n