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离散型随机变量的数学期望教案 教学目标：1使学生理解和掌握离散型随机变量的数学期望的定义， 2会掌握和应用数学期望的性质。 教学工具：多媒体。 一．复习 　1.一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为　　　　　x1，x2，……，xi，…，　　X取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(X＝xi)＝pi，则称下表 　一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为　　　　　x1，x2，……，xi，…，　　X取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(X＝xi)＝pi，则称下表 X x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 为随机变量X的概率分布， 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： (1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＝1． 2、什么叫n次独立重复试验？ 　一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与　，每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。 3、什么叫二项分布？ 若X～B (n，p) Cnkpkqn-k 二．引例，新课 1.全年级同学的平均身高是产u= （++….+ ） P=p(X=)=,i=1,2….n 把全年级的平均身高u定义成X的均值，记作E(X) E(X)= (++….+ )/n EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 2.数学期望的定义 若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称： E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 3，举例 X 0 1 p 0.3 0.7 解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7 三、数学期望的性质 得到结论（1） ξ 1 0 p p 1-p 如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p （2）探究 ：若X~B(n，p)，则E(X)= ？ X 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明：∵P(X=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E( X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + 　　　…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + 　 　Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np 若X～B (n，p)，则 EX= n p （3）超几何分布 举例 例、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x 表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是 （结果用最简分数表示） 变式：一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。 四，例题应用 例1 甲击中目标的概率为1/2,如果击中，赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的概率分布和数学期望。 解：｛X=10｝的充分必要条件是击中目标，所以p(X=10)=1/2=0.5 ｛X=-11｝是｛X=10｝的对立事件，所以p(X=-11)=1- 0.5=0.5 X只取10和-11，所以 E(X)=10× p(X=10)+(-11 )× p(X=-11) =10 ×0.5-11 ×0.5 =-0.5 例2.在只需回答“是”“不是”的知识竞赛时，每个选手回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分，用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”“不是”，计算X的概率的分布和数学期望。 解： ｛X=-1｝的充分必要条件是两次猜错，所以 p(X=-1)=1/4=0.25 ｛X=0.3｝是｛X=-1｝的对立事件，所以p(X=0.3)=3/4=0.75 X只取-1和0.3，于是 E(X)=-1× p(X=-1)+(0.3 )× p(X=0.3) =-1 ×0.25+0.3 ×0.75=-0.0