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2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则【 D 】 A．, B．, C. , D. , 2．对于非零向量“”是“”的【 A 】 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．将函数的图象向左平移个单位后， 得到函数的图象，则等于【 D 】 A． B． C. D. 4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 B 】 A ． B ． C ． D ． 5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选， 而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 6．已知D是由不等式组所确定的平面区域， 则圆在区域D内的弧长为【 B 】 A． B． C． D． 7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 C 】 A．2 B．3 C． 4 D．5 8．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数 取函数。若对任意的，恒有，则【 D 】 A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分， 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项 运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _. . 10．在的展开式中，的系数为__7__(用数字作答). 11．若，则的最小值为 . 12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中， 有一个内角为，则双曲线C的离心率为 . 13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 40 。 14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 12 ； （2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2, 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有， ，… ， . 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 在中，已知，求角A，B，C的大小. 解： 设. 由得，所以. 又因此 . 由得，于是. 所以，，因此 ，既. 由知，所以，从而 或，既或故 或。 17．（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和 产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名 工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数， 求的分布列及数学期望。 解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立， 相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立， 且 （Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= （Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为， 由已知， B（3，），且=3-。 所以P（=0）=P（=3）==， P（=1）=P（=2）= =， P（=2）=P（=1）==， P（=3）=