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论文题目 浅谈中学数学中的反证法 浅谈中学数学中的反证法 目录 1. 引言 2. 反证法的定义、逻辑依据、关键及一般步骤 3. 反证法的适用范围 4. 举例 5.运用反证法应注意的问题 6.参考文献 论文摘要： 介绍反证法的地位、阐明其定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索反证法在中学数学中的应用。 在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息，经常需要作出选择和判断，进而进行推理，作出决策，因而义务教育阶段，数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的……推理能力。长期以来中学数学教材重视了对学生直接推理能力的培养，而淡化了对学生间接推理能力的培养，有的同学不习惯用反证法解决问题，甚至怀疑这种方法是否有道理，可是数学的研究说明，要是不用反证法，很多定理就推不出来。反证法是数学中不可缺少的推理方法，也是经过实践检验、证明是正确可靠的推理方法。为了对反证法在生活重要性有一个初步认识，下面先从流传了近1800年的道旁苦李的故事说起：有一群小朋友正在郊外玩耍，忽然看见路边有棵李树，树上结满了李子，上面的李子个大皮红。小朋友都争先恐后地跑去摘李子，只有其中一个叫王戎(234─305 )的小朋友却站着不动。有人奇怪地问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“路边的李树，结满了果实而没有人摘，说明这李子一定是苦的。”同伴们听了，拿到嘴里一尝，果然是苦的。大家都觉得王戎太聪明了。这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 反证法的定义、逻辑依据、关键及一般步骤 定义： 反证法是通过论证命题的矛盾判断的虚假性，从而确定命题真实性的一种证明方法，属于间接证明的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 逻辑依据： 反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律和排中律。 关键： 运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。 一般步骤： 用反证法证明命题一般有三个步骤： （1）分清命题的条件与结论，并假设命题的结论不成立； （2）从所作的否定结论的假设，应用正确的推理方法，导出矛盾的结果（与已知的公理、定义或定理矛盾；或与已知条件矛盾；或与所作的假设矛盾；或自相矛盾） （3）断定产生矛盾结果的原因，在于所作的与命题结论相矛盾的假定不真，于是原结论为真，从而间接证明了命题为真。 分类：根据结论的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。如果与命题结论相矛盾的方面只有一种情况，这时反证法又称简单归谬法；如果与命题结论相、矛盾的方面不止一种情况，这时需要将它们逐一加以否定，命题才能得证，这种反证法又叫穷举归谬法。 2. 反证法的适用范围 （1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题； （2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命题； （3）涉及各种无限结论的命题； （4）以“最多（少）、若干个”等为结论的命题； （5）存在性命题； （6）唯一性命题； （7）某些定理的逆定理； （8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。 3.举例 道旁苦李的故事，实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的已知、求证、证明再和反证法的步骤进行对比。 事实：树上结满了李子 已知：树上有李 反证法的步骤 小朋友问：为什么李苦 求证：李为苦李 王戎：假如李子不苦 证明：假设李不苦 1假设结论不成立 则早被路人摘光 则早被路人摘光 而树上结满李子 与已知树上有李矛盾 2从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾 所以一定是苦的 所以一定是苦的 3由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 至此，反证法的思路及步骤就一目了然了。我们在以后运用反证法时，可对照此例。则反证法可运用自如矣。需要说明的三点是：一是反证法适用于证明一些用直接证法比较困难的命题；二是使用时，第一步是假设命题的结论不成立，亦可理解成假命题结论的反面成立。但此时，要考虑结论的反面可能出现的情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只须否定这种情况就足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定后，才能肯定原结论是正确的；三是步骤第二步从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定义、公理、定理、性质等矛盾，这样都足以说明假设错误，原命题正确。 反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有