微积分(高阶线性微分方程.pptVIP

2、线性微分方程的解的结构 2. 二阶常系数线性齐次微分方程解法 综上， 3. n阶常系数线性齐次微分方程 内容小结 求微分方程 2. 已知二阶常微分方程 内容小结 例 求方程 解 的通解. 特征方程 故所求通解为 特征根 即 和 可得原方程4个线性无关解 即 特征根 故所求通解 解 特征方程 例 对应的特解 为特解的4阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 根据给定的特解知特征方程有根 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 例 解 特征方程 实根 特 征 根 通 解 1. 二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程 特征方程的根 通解中的对应项 2. n阶常系数齐次线性方程解法 则它必定有解（ ） 选择题 . 4. 在下列微分方程中，以 为通解的是（ ） 三、常系数非齐次线性微分方程 解二阶常系数线性微分方程 先求（1）的两个线性无关的解 则方程的通解为 再求（2）的一个特解 y* 二阶常系数非齐次线性方程 常见类型 (1)对其对应的齐次方程的通解，利用*常数变易法可求通解，但较繁. 难点：如何求特解y* ？ (2)对常见的 ，用待定系数法求特解. 设非齐方程特解为 求导代入原方程 综上讨论 注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数). 不是根 是单根 是重根 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 此题 其中 ? 对应齐次方程通解 代入方程, 得 原方程通解为 对应齐次方程通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 此题 其中 ? 代入方程, 得 原方程通解为 对应齐次方程通解 的通解 (其中 为实数 ) . 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时, 代入原方程得 故原方程通解为 解 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 二阶常系数线性非齐次方程 例 (2) 求非齐次方程的特解 解得 所以 (3) 求原方程的特解 即 特征根 原方程通解为 (求函数y的解析表达式) 且 由题意, 得 即 联立 将之代入通解得 所以, 函数y的解析表达式为 微分方程 的特解 的形式为 解 特征方程 特征根 对应的齐次微分方程 是二阶常系数微分方程 满足初始条件 的特解, 函数 的极限 (A) 不存在. (B) 等于1. (C) 等于2. (D) 等于3. 解 例 解 对应齐方通解 故原方程的通解为 欧拉公式 欧拉公式 注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 解 例 (1) 求对应齐次方程 特征根 其通解 特征方程 的通解 (2) 求非齐次方程的特解. 设 代入方程, 整理得 特征根 是特征根. 原方程通解为 齐次方程的通解为 原方程的特解为 且满足方程 求 提示 上式两边对x求导两次 因此问题化为解下列初值问题 解得 二阶可导, 第四节 高阶线性微分方程 二、常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性微分方程 一、高阶线性微分方程 一、高阶线性微分方程 1、二阶线性微分方程 2、线性微分方程的解的结构 通解为 对应齐次方程通解Y 非齐次方程特解 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程 的常数变易法对高阶线性方程也适用. 注 一阶线性方程 复习 二阶 二阶线性齐次微分方程. 二阶线性非齐次微分方程. 形如 1、二阶线性微分方程 线性 微分方程 n阶线性微分方程的一般形式为 n阶线性齐次微分方程. n阶线性非齐次微分方程. 定理 证 叠加原理 一定是通解 (1) 解, (1)二阶齐次方程解的结构 齐次 线性无关 定义 线性相关. 否则称 线性无关. 如 线性相关 恒等式成立 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 那末称这n个函数在区间I内 为定义在区间I内的n个函数. 特别地 线性无关. 若在I上有 如 定理 通解 为了求 只要求它的两个线性无关的特解. 线性无关 的特解, 那末 也是(1)的 齐次 线性方程的通解, 通解. 推论 是n 阶齐次 线性方程 的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 其中 为任意常数. 可推广到n阶齐次线性方程. (2)二阶非齐次线性方程的解的结构 定理 的一个特解, 为了求 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 只要求得: 的通解. 非齐次 (2) 非齐次 线性方程的通解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解. 是二阶非齐次线性微分方程 已知 的通解. 又容易验证 是所给方程的一个特解. 是非齐次方