导数在单调性、极值中的应用.pptVIP

(对应学生用书P51)　 易错点　求参数取值时出现 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围． 【错因分析】　f ′(x)0(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x)＝－x3在R上递减，但f ′(x)＝－3x2≤0. (1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性． (2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识． (3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开． 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2. (1)试用c表示a，b； (2)求f(x)的单调递减区间． 1．与函数的单调性有关的问题 (1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)0或f ′(x)0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点． (2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求． 2．与函数的极值有关的问题 (1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号． (2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值． RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文） 考纲要求 考情分析 1.了解函数单调性和导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 3．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 4．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 　每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，对导数的考查非常全面，既有选择题、填空题等客观题，又有解答题，通常以解答题为主，并且所占的分值较高．常见的考查方式有两种形式，一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等，如2011年安徽、北京卷；二是把导数与函数、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数的值(或范围)．把导数与函数、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数的值(或范围)，如2011年课标卷、福建、江苏卷等. (对应学生用书P49)　 知识梳理 1．函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果f_′(x)0，那么函数　y＝f(x)在这个区间内单调递增； 如果f_′(x)0，那么函数　y＝f(x)在这个区间内单调递减； 如果f_′(x)＝0，那么　f(x)在这个区间内为常数． 问题探究1：若函数　f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)0吗？f ′(x)0是否是　f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数　f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)0是　f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件． 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值 函数　y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)0，右侧f_′(x)0，则点a叫做函数　y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数　y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数　y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)0，右侧f_′(x)0，则点b叫做函数　y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数　y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？ 提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但