9-9应变能-课件（PPT-精）.pptVIP

* §9 —9 弯曲应变能 一、梁在纯弯曲时的应变能 l Me Me ? ? 梁在纯弯曲时，各横截面的弯矩 M 都等于外力偶矩 Me 。 l Me Me ? ? 曲率： 圆心角： 在线弹性范围内有 ? Me ? 与 Me 成线性关系 外力偶所做的功 ? Me 纯弯曲时梁的应变能 二、横力弯曲时梁的应变能 横力弯曲时梁的应变能包含两部分：弯曲应变能 和 剪切应变能。 在工程中常用的梁（跨度比高度大得多），剪切应变能比弯曲 应变能小的多，因而剪切应变能不计。 dx M(x) M(x)+dM(x) 取一微梁段 因弯矩的增量是一阶无穷小，可略去不计。 该梁段可看作纯弯曲。 所以这段梁的应变能为 全梁的应变能为 式中： M(x) 为梁任一横截面上的弯矩表达式。 dx M(x) M(x) 解：[法 1 ] 运用功能原理求应变能 挠曲线方程 x dx q A B l y w 例题：抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载 q作。求：应变能 [法 2 ] 运用弯曲变形能公式 q A B l y x 例题：求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨中 C 截面的 挠度。 l/2 F A B C l 解：根据对称关系，梁左段和右段内的弯曲应变能相同 （取左段研究） 左段 ( AC段 ) 弯矩方程 l/2 F A B C l 左段 ( AC段 ) 弯曲应变能 整个梁的弯曲应变能 l/2 F A B C l 所求挠度 wC，就是荷载 F 的作用点 C 沿荷载作用方向的位移 因此在加载过程中荷载所作的功为 弹性体应变能的大小等于外力的功 卡式定理 设梁上有n个荷载 P1，P2，? ? ?，Pn （简单加载） 与之相应的位移为 ?1， ?2， ? ? ?， ?n 一、卡式第一定理 梁内应变能在数值上就等于外力功 外力作总功等于每个集中力在加载过程中所作功的总和 上式表示梁内应变能 U 是其上所有荷载相应的 最后位移 ?i 的函数 假设与第 i 个荷载相应的位移有一微小的增量 d?i 梁内应变能的变化为 为应变能对于位移 ?i 的变化率 只有与 Pi 相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的 位移保持不变。 只有 Pi 在微小位移 d?i 上作了外力功 梁外力功的变化为 外力功在数值上等于应变能 得到 即 卡氏第一定理 *