E的接触点-课件（PPT-精）.pptVIP

第三节 开集,闭集,完备集 1. 开集、闭集 例：开区间(a,b)为开集 例：闭区间[a,b]为闭集 注：闭集为对极限运算封闭的点集 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 Eo为开集 E`为闭集 E`为闭集 2 开集与闭集的对偶性 开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 3 开集的性质 a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。 闭集的性质 a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。 5 .隔离性定理及点集间的距离 隔离性定理 设 是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个 互不相交的开集 ，使得 点集间的距离 定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集 ， x∈Rn ，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A) 定理（距离可达性定理2） ：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A, y∈B,使得d(x,y)=d(A,B) 定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0≤ f(x)≤ 1， x∈ Rn （2） f(x)=0， x∈ F1; f(x)=1, x∈ F2 思 考 两个闭集 不相交，下面的结论一定成立吗？ 上面条件换成有界闭集呢？ 6.R中有关紧性的两个结论 ⑴Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一 个聚点. ⑵ Heine-Borel有限覆盖定理 设F为Rn 中的有界闭集，若开集簇 覆 盖F， 即 ， 则 中存在有限个 开集U1 ，U2， … ,Un，它同样覆盖F 定义 （紧集） 设M是度量空间X中的一集合， 是X中任一族覆盖了M的开集，如果可从中选出有限个开集U1 ，U2， … ,Un仍然覆盖M，则称M是X中的紧集 但在一般的度量空间中，紧集必为有界闭集，而有界闭集不一定为紧集 定理： 设M是度量空间 中的紧集，则M是X中的有界闭集 可数覆盖定理 设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， … ,Un ，… ，它同样覆盖F 7 自密集和完备集的定义 自密集：设 ，如果 ，则称E 为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密集。 例：有理数集Q为自密集 完备集：设 ，如果 ，则称 E为完备集。 例：任何闭区间及全直线都为完备集 第四节 直线上的 开集,闭集,完备集的构造 7. 直线上的开集构造 定义（构成区间） 设G为直线上的开集，如果开区间 而且端点 不属于G，则称 为G的 构成区间。 例如： 定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间 （3）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合 8.Cantor集 ⑵Cantor集的性质 c. P没有内点 d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点 数的进位制简介 十进制小数 相应于 对[0,1]十等分 二进制小数 相应于 对[0,1]二等分 三进制小数 相应于 对[0,1]三等分 e. P的势为 （利用二进制，三进制证明） 康托集P为完备集（由完备集的构造性定理可得） ⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区 间的公共端点; （4）Rn中的开集一般不能表示成至 多可数个互不相交的开区间之并， 但总可表示成至多可数个互不相 交的半开半闭区间之并，且不唯一. (