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09光信息量子力学习题集 一、填空题 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125 ）。 索末菲的量子化条件为（ ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级（ ）。 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ）和（ ）。 三维空间自由粒子的归一化波函数为=（ ）， （ ）。 动量算符的归一化本征态（ ），（ ）。 t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（ ）。 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（ ），几率流密度=（ ）。 设描写粒子的状态，是（ 粒子的几率密度 ），在中的平均值为=（ ）。 波函数和是描写（ 同一 ）状态，中的称为（ 相因子 ），不影响波函数的归一化，因为（ ）。 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。 是定态的条件是（ ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 3．t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（ ）。 粒子处在的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为（ ），第一激发态的波函数为（ ）。 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ ）。 一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ）、第一激发态的波函数为（ ）。 （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。 一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。 一维线性谐振子第n个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原子的第n个能级的简并度为（ 2n2 ）。 氢原子的状态为，角动量平方是（ ）、角动量分量是（ ）。 厄密算符的定义是：对于两任意函数和, 等式（ ）成立。 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。 力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。 算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在表象中=（ ）。 如果[]=0，则存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，的共同本征态是（ ）。 如果存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[]=（ 0 ）， 的共同本征态是（ ）。 对易子（ ），（ ）。 （ ），（ ），（ ）。 （ ）。（ ），（ 0 ）。 能量与时间的测不准关系是（ ），和的测不准关系是（ ）。 在一维情况下，若粒子处于状态中，则在动量表象中的波函数为（ ）。 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中，则在表象中一维线性谐振子的波函数为=（ （0，0，3/5，0，-4/5，0,…） ）。 斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只能取两个值（ ）和（ ）。 =（ ），=（ ）。 =（ 0 ），[]=（ 0 ）。 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 在表象中，，则在状态中，=（ ）。 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变 ）。 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ）。 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的。 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数。 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数。 ―――――――――――――――――――――――――――――― 二、计算、证明题 1．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数. 解：当 当 令 得 ，