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第五章 方差分析与正交实验设计 二 多因素试验方差分析 三 应用方差分析时应注意的问题 * 一、单因素试验方差分析 二、多因素试验方差分析 三、应用方差分析时应注意的几 个问题 四、正交试验设计 （一）无重复试验的方差分析(无交互效应) 设因素A有p个不同的水平： 因素B有q个不同的水平： 对每个 可能的搭配 进行一次独立试验， 共获得 个试验结果 并列 表如下： 假定 来自正态分布 ，且相互独 立，即 其中 ～ 为了了解各因素的影响，令 称 为理论总均值， 表示所考虑的 个总体 数学期望的总平均； 称 为因素 的第 个水平 对试验结果的效应； 称 为因素 的第 个 水平 对试验结果的效应。 反映了水 平搭配 对试验结果的总效应， 是总效 应减去水平 的效应 及 的效应 ， 因此 实际上表示的是水平搭配 对试验结果的 交互效应。 但由于两个因素各个水平的搭配只 进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所 产生的交互效应，因此在这里假定 。 这样所讨论的双因素方差分析数学模型可表示为 ～ 所以判断因素 对试验结果是否有显著影响 就等价于检验假设问题 （**） (1) 而判断因素 对试验结果是否有显著影响就 等价于检验假设检验问题 为了检验这些假设检验问题， 将总离差平方 和进行分解有 其中 (2) 定理5.2 对模型(**)有 定理5.3 对模型(**)有 (1) (2) ～ (3) ～ (4) ～ 因此，由定理可知，当 成立时， ～ 对给定的显著性水平 ， 检验问题(1)拒绝域为 而当 成立时， ～ 对给定的显著性水平 ， 检验问题(2)拒绝域为 检验过程用下面的方差分析表来进行。 (p-1)(q-1) SE 误差 显著性 pq-1 ST 总和 q-1 SB 因素B p-1 SA 因素A F值 均方 自由度 平方和 方差来源 （二）等重复试验的方差分析（交互效应） 设有两个因素 和 ， 因素 有 个不同的 水平 ， 因素 有 个不同的水平 这样共有 个不同的水平搭配 对每个搭配 ， 作 次独立重复试验， 共获得 个观察值， 列 表如下： 假定 来自正态分布 ， 且相互独立，即 其中 ～ 令 则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为 ～ （***） 为因素 与 的交互效应。 判断因素 及交互作用对试验结果是否有 显著影响就等价于检验如下的假设检验问题 为了检验这些假设检验问题， 将总离差平方 这里 和进行分解有 其中 可以证明如下两个定理 定理5.4 对模型(***)有 定理5.5 对模型(***)有 (1) (2) ～ (3) ～ (4) ～ (5) ～ 因此，由定理可知，当 成立时， ～ 当 成立时， ～ 当 成立时， ～ 对给定的显著性水平 ， 拒绝域分别为 *