向量法求空间角.docVIP

PAGE 1 向量法求空间角 广东信宜中学 李平 大家知道，立体几何是高中学生学习的一个难点，以往数学教师在教导学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即要求学生根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且，引入向量，对于某些立体几何问题能提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因而降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程的理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题，以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 1 预备知识。 空间向量夹角：设,为空间的两个向量,, 的夹角为〈, 〉，则 由向量内积公式: = 得： 其中 向量法求空间角的具体解题思路如下： 向量的内积公式和运算法则 向量的内积公式和 运算法则 建立空间直角坐标系 向量法求空间角 建立空间直角坐标系 向量法求 空间角 已知条件及图形性质 已知条件及图形性质 求出空间向量及点的有关坐标 求出空间向 量及点的有关坐标 2 求异面直线所成的角。 方法：已知两条异面直线1 , 2 ,可分别在1 , 2 上取向量，，设两条异面直线所成的角为，则 ①当时，； ②当时，； 例1 在正方体中，M是AB的中点，试求异面直线DM与BD1的夹角。 分析：本题传统的解法是先通过平移找出所求的异面直线所成的角，即作出与平行且与BD1相交的直线，构造三角形，利用余弦定理求解，步骤繁多，而引入向量能简化运算，提高解题效率。 解：设正方体棱长为1，如图（1）所示， 以D为原点，建立空间直角坐标系，则 向量，， 易得 ， , ∴ 易知， ∴ 例2 在直棱柱 中，底面是以为直角的等腰三角形，AC=2，BB1=3，求直线BC1与A1C所成的角。 分析：本题中要求异面直线A1C与BC1所成的角，首先必须作出这个角，但用传统的解法，很难作出，需要一定的技巧，而向量法能轻而易举把问题解决。 解：如图（2）所示，以B为原点，建立空间直角坐标系 ，则 , ,, ∴ ,, 则 ， , ∵ ∴ 3 求直线与平面所成的角。 方法：设直线与平面的夹角为（），设向量∥,向量, 即是的方向向量，是的法向量，则 ①当时，； ②当时，； 例3 如图（3），在直三棱柱OBC-O1B1C1中，OB=1，OC=2，OO1=3，，求直线CB1与平面O1C1B所成的角。 分析：传统方法是作出直线B1C在平面O1C1B上的射影，则直线B 解：建立空间直角坐标系O-XYZ ，则 ,，，， ∴ ，， 设平面O1C1B的法向量为，则 x = 3 z y = 0 取 ，即, ， ∴ ∴ 直线CB1与平面O1C1B所成的角为 例4 如图（4），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D,E分别是CC1,A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。 （1）求A1B与平面ABD所成的角的大小。 （2）求点A1到平面AED的距离。（2003高考题） 分析：本题中，要作出直线A1B在平面ABD上的射影比较困难，一般学生不易作出，而应用向量能避开这一难点。 解：(1) 如图（4），建立空间直角坐标系 C-XYZ， 设CA = CB =，则 ，，， ，易得 ， ∴，， ∵平面ABD ∴ 由 得 所以 =2 , ∴ ∵ ∴ A1B与平面ABD所成的角为 （2）略。 说明：本题是先设出各点的坐标，然后利用向量垂直的充要条件，求出坐标中的未知量，这在向量法解决立体几何问题中经常用到。 4 二面角的求法。 方法1：如图（5），二面角--的棱上有两点A，C，，,设 =， = ，则二面角的平面角。 方法2：如图（6）（7），分别为平面，的法向量），则当或绕其棱转到与另一半平面重合时，若方向一致或相反，则二面角的平面角或。 例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD所成的二面角。 分析：本题中，我们易于作出两平面所成的二面角，但用传统方法求解，计算量大，学生易于出错，所以我们用方法1求解。 解：设AC与BD交于点O，连结A1O，C1O ∵与都