西南交大高数上册第一至第三章习题解答.docVIP

习题1—7 1．指出下列各函数的间断点以及所属的类型。如果是可去间断点，则重新定义函数值使函数在该点连续 （1） 解：， ，不存在 所以，是函数的第一类间断点，且是可去间断点 定义当，可使函数在 点连续。 是函数的第二类间断点 （2） 解：，不存在，所以是函数的第二类间断点 （3） 解：时， 时， 时， ，，，所以是函数的第一类间断点 ，，，所以是函数的第一类间断点 （4） 解：，时，无意义，无意义，所以是函数的第一类间断点。 定义时，可使函数在处连续 2．写出函数在点x0连续的ε—δ定义。 解：设函数在点x0的某邻域内有定义，，，：，使 成立，则在点x0处连续 3．（1）函数在点x0连续，而函数在点x0不连续，问此两函数之和在点x0是否连续？那么此两函数的积呢？ （2）在点x0，与都不连续，则两函数的积是否必不连续？ 解：（1）①在x0处不连续 证明：设在x0处连续，则，，：， 由于在x0处连续，所以，，：， ， 故： 所以，，：，使成立。 与在点x0不连续矛盾，所以在x0处不连续 ②在x0处可能连续 例：，， 在x=0处连续，不连续，但连续 （2）不一定 例：，， 在x=0处不连续，不连续，但连续 4．确定常数α、β，使在点x=0连续。 解：，所以要使存在，必须使，此时 5．设，满足，且在点x=0连续，则， 连续 解：，， 在点x=0连续，故 故， 连续 6．若在区间I上连续，试证在I上连续。 解：在区间I上连续 故：，，，：：，。 故：，，，：：， 故：在区间I上连续 习题1—8 1．写出当时，下列无穷小量的等价无穷小 （1） 解：，， 而时，y与是等价无穷小 ， 所以时，与等价无穷小的是x （2） 解： ，， 所以时，与等价无穷小的是 （3） 解： 所以找的等价无穷小，只要找的等价无穷小， 而与等价无穷小的是x，所以与等价无穷小的是x 2．找出下列运算中的错误 （1） 解：应将分子作为一个整体，用其无穷小代替，而不是将分子的各项用其无穷小代替 正确解法： （2）（m，k为自然数） 解 原式= 解：时，和不是无穷小，所以分子分母不能用和代替 正确解法：和 3．证明β与α是等价无穷小的充要条件为 证明：充分条件： 所以 必要条件：，其中是一个无穷小量 所以 4．求下列极限 （1） 解： （2） 解： （3） 解： 令， （4） 解： 所以： （5） 解： 所以： （6） 解： （7） 解： 所以： 习题1—9 1．证明方程（其中），至少有一个正根 证明：设 ，，且在上连续，由介值定理可知在 内至少有一点x0，使得，即至少有一个正根 2．证明方程的三个根都是实根 证明：，，，， 由于在，，上均连续，由介值定理可知，在，，每个区间内都至少有一点使得的函数值为0，所以的三个根都是实根 3．设且，，试证使 证明：将区间两等分，中间点为，若，结论得证 若不然，若，令，， 若，令，，则在满足题中条件，再重复以上过程 若经过有限次后，在某分点x0处有，则结论得证 若经过多次分隔后在分点x0处没有，则得到一系列区间 ，它满足 ①， ②， 由区间套定理知必有 由于在连续，， 所以，即为所求。 4．若在上连续，且，证明使得： 证明：由于在上连续，所以在上有最大值与最小值，设最大值为A，最小值为B，则有 ，，，……， 由于闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 所以，使得： 5．若在连续，且存在，证明在上有界。 证明：因存在，设， 则，，，使得 在上连续，所以在上有界，即，，使得 取，则有， 习题2—1 的导数 解： 2．已知在点x0处可导，求下列极限 （1） 解：令： （2） 解：令： （3） 解：令： 3．是偶函数，且存在，证明 证明： 因为存在，所以， 故 4．求下列函数的导数 （1） 解： （2） 解： （3） 解法1： 解法2： （4） 解法一： 解法二： 5．在抛物线上取横坐标是，的两点，作过这两点的割线，问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线 解：割线斜率 6．求曲线上的一条切线，使之过原点 解： 所以切线为： 7．设，求a，b使在x=0处可导 解：， 故： 在x=0处可导必连续，， 故：b=2 8．设，其中在x=1的某邻域内有定义，当满足什么条件时，在x=1处可导？ 解： 在x=1处可导，必须存在 习题2—2 1．求下列函数的导数 （1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解： （6） 解： （7） 解： （8） 解： 2．试证在曲线上存在一点，该点的法线过原点 证明：法线的斜率： 曲线上经过某点的法线： 法线过原点： 因有解，即可以找到a及相对应的b，使曲线上经过的法线过原点 3．求下列函数的导数 （1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解：