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数学高考题中三角函数题型与解题方法的研究 摘 要：三角函数类试题是高三复习中的重要知识点和历年高考中的必考题， 本文对三角函数考题特点、考题来源等进行了详细的统计和比对分析，并在对四 种典型试题进行了逐一分析。 关键词：三角函数 高考 研究 选择 填空 简答 1 考题特点 对2007年全国I、II、北京、天津、上海、辽宁、江苏、浙江、福建、湖北、湖南、重庆、江西、安徽、四川、陕西等16套文理科数学试卷的统计和分析表明，三角函数类试题在高考中占有重要的位置。其中，选择题和填空题出现在16套试题中，出现率为100%，解答题出现在14套试题中，出现率为87.5%。在16套的高考题中，三角函数题平均18.9分。选择题、填空题覆盖面广，有三角函数的定义、特殊值、同角三角函数的关系、三角公式和运算，三角函数的图像和性质、三角形面积，正余弦定理等多方面知识。不管是在大题上还是在小题上，各地区都加强了三角函数的考察，所以三角函数试题应该引起我们足够的认识，以期有的放矢，使此类题型的教与学都达到事半功倍的效果。 2 三角函数有关定义 2.1 三角函数定义一 三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。 2.2 三角函数的定义二 另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。 ?? 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。 在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法： 基本函数 英文 表达式 语言描述 正弦函数 Sine sin θ=y/r 角θ的对边比斜边 余弦函数 Cosine cos θ=x/r 角θ的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan θ=y/x 角θ的对边比邻边 余切函数 Cotangent cot θ=x/y 角θ的邻边比对边 正割函数 Secant sec θ=r/x 角θ的斜边比邻边 余割函数 Cosecant csc θ=r/y 角θ的斜边比对边 在初高中教学中，主要研究正弦、余弦、正切三种函数。　 　　注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。 ?? 3 三角函数的性质定理 3.1 正弦定理 于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ，其中R是三角形的外接圆半径。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中 （1）已知两个角和一个边求未知边和角 （2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。 3.2 余弦定理 对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有：　c^2=a^2+b^2－2ab·cosC. 也可表示为： cosC=（a^2+b^2－c^2）/ 2ab. 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。 如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况 3.3 正切定理 对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： (a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2] 3.4 三角函数的公式 同角三角函数间的基本关系式： 平方关系： sin^2α＋cos^2α＝1 1＋tan^2α＝sec^2α 1＋cot^2α＝csc^2α 积的关系： sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα 倒数关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/si