数学物理方法第七章数学物理定解问题.pptVIP

说明： 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为自变量的常微分方程； 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变量的偏微分方程。 uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 4. 定解的物理意义： 例如 弦的初始速度为零,初始位移如图 X x1 x2 u0 对于无界空间的波，其初始位移 引起波动时以其一半 以速度a 分别向 方向传播的纵波的叠加； 而由初始速度 引起的波动则是累积效应，它是以互为镜像 的波 以速度a沿 方向传播的纵波的叠加。 由达朗贝尔公式 x1 x2 t=0 t1 t2 t3 t4 又例如 初始位移为零，初速度为： 由达朗贝尔公式 x φ(X) x1 x2 考察 x Φ(X) x1 x2 因此u(x,t)是如下图形迭加的传播 x 二、一维半无界空间波动方程的求解方法 ------------达朗贝尔公式的应用 1、问题的提出： 以一维弹簧振动为例 而对于半无界空间，在x0区域，初始条件不存在， 如何来解决此问题？ 2、解决问题的基本思路 实际问题是在x=0处存在边界条件，我们可以将半弦视为 无限长度的一部分，且将在x=0处的边界条件虚拟为x0 部分的初始条件来代替： 3、 满足边界条件的虚拟x0部分初始条件的确定方法 -------实际定解问题： 将此问题视为全空间问题，则在 区域，方程解为 令x=at 满足边界条件x=0处是： 为了满足上式，我们寻找最简单的 且可以令 所以对于x=0处固定的半无界问题，我们只需要将初始条件 做奇延拓即可，就得到能够满足边界条件的达朗贝尔公式 给出的解的表达形式。 这样给出解为： 解的物理意义： 5、半无界空间问题的推广： 在x=0处为ux│x=0=0自由端作偶延拓 三、泊松方程 在充满了介电常数为ε的电解质，电荷的体密度为ρ（x,y,z)，研究该区域的静电场。 1.势函数u(x,y,z)是根本量,; 2.在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，围出一空间τ，由高斯定理： 因为 所以 若所讨论区域无电荷，则为 当时间足够长,ut=0达到稳定状态，即浓度的稳定分布方程。 所以 -----此即泊松方程 -----laplace方程 对于扩散方程 四、方程的分类 数学物理方程的一般形式 2.方程的分类; 按其符号，将方程化为三种类型; 二阶偏微商项的三个系数 组成了一个判别式 3.三种典型方程的用途 1) 双曲型方程(Hyperbolic Equation) 以波动方程为代表的方程 它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、 电磁波的传播规律． 2) 抛物型方程(Parabolic Equation)： 以热传导方程（或输运方程）为代表的方程 它主要描述扩散过程和热传导以及物质传输过程所满足的规律 双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的，有时也称为发展方程 . 3）椭圆型方程（Elliptic Equation） 以泊松方程为代表的方程 它是描述物理现象中稳定过程规律的偏微分方程.在物理 现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流 的速度势等规律． 当 ， 即退化为拉普拉斯方程 §7、2 定解条件 一 初始条件 ： 定义： 是对所研究系统的在开始计时时刻的系统状态初 始分布 2.初始条件的特征： 偏微分方程的阶数对应于初始条件中的数目: 一阶含时偏微分方程 有一个初始条件 二阶含时偏微分方程 有两个初始条件 3 、注意问题： 1）初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。 例1 一根长为l的弦，两端固定于0和l.在距离坐标原点为b的位 置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振 动，试写出初始条件． 解：初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有 l x b h 给出条件 ？ 错！ 初始位移如图所示，除两端点固定外，弦上各点均有一定 的位移，写出如图所示的直线方程，得到初始位移为 （2）、初始条件中不含时间，只是坐标的函数或常数 研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围环境的影响常体现为边界