弹性力学课件第五讲-空间问题的基本理论.pptVIP

例　题 例题：将立方体的橡皮放在一同样大小的刚性体铁盒容器内，其上用铁盖封闭，铁盖上受均匀分布垂直压力 q 作用，假设橡皮与容器间无摩擦力，试求橡皮中的应力分量与应变分量。 例　题 1、建立求解的直角坐标系 2、橡皮在力的作用下会发生形变，但由于容器为刚性体，因此其在 x 和 y 两个方向变形受到约束，位移u=v= 0，相应的正应变ex= ey= 0。 5、由于橡皮与容器间无摩擦力，因此切应力均为 0 ，切应变也为0。 4、将上述条件代入物理方程，可解得sx和 sy，进而求ez 3、橡皮的上边界受均匀分布垂直压力 q 作用，因此有 　 sz= -q （见§8.2内容） 空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 §5.5 空间轴对称问题的基本方程 空间轴对称：弹性体的形状、约束和外力都是对称于某一轴，通过对称轴的任何平面均是对称面，则所有物理量（应力、应变和位移）都对称于该轴。宜采用圆柱坐标系（r, j, z）。 由于对称，在对称面两边对应点的物理量满足如下两个条件 　　（1）数值轴对称：所有物理量与环向坐标 j 无关，同一环向线上的值相等，且只是径向坐标 r 和轴向坐标 z 的函数。 　　（2）方向轴对称，即方向对称于 z 轴，方向不对称于 z 轴的物理量不能存在，从而有： 轴对称问题的平衡微分方程 由径向轴 r 和轴向 z 两个方向的空间力系的平衡条件，可推导出“平衡微分方程”： 整理可得 （7-15） 轴对称问题的几何方程 通过与§2.4及§4.2中相同的分析方法，可见由于径向位移 ur 引起的形变为 由于轴向位移 uz 引起的形变为： 根据叠加原理，将两组形变叠加，得轴对称问题的几何方程： （7-16） 轴对称问题的物理方程 由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选择无关。对于直角坐标系和柱坐标系，因为它们都是正交坐标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。 物理方程：应力与应变的关系 （7-17） 空间轴对称问题：小结 空间轴对称问题的基本未知函数为10个：4个应力分量、4个应变分量、2个位移分量。 空间轴对称问题的基本方程也为10个：2个平衡微分方程、4个几何方程、4个物理方程。 空间轴对称问题所有未知函数与环向坐标 j 无关，一般都是径向坐标 r 和轴向坐标 z 的函数。 * 第五讲空间问题的基本理论 　　本讲将系统地介绍空间问题的基本理论－基本方程和边界条件，及空间轴对称问题的基本方程。要求掌握的内容如下： 　　1、空间问题的基本未知函数； 　　2、一点应力状态的分析； 3、空间问题的三套基本方程－平衡微分方程、几何方程与物理方程 　　4、边界上边界条件的建立；　 　　5、空间轴对称问题的基本方程。 本讲学习指南 　　为了理解空间问题的基本理论，可从以下几个方面出发： 　　1、清楚地了解推导空间问题的基本方程所用的条件和方法； 　　2、对照平面问题基本理论的相关知识进行学习，将空间问题的基本方程、边界条件看成是平面问题的推广，以加深理解； 　　3、柱坐标系中的空间轴对称问题可看成是平面轴对称问题的推广； 本讲学习指南 空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 §5.1 空间问题的基本未知量与方程 什么空间问题？ 一维问题：一个基本坐标变量，如杆件。是材料力学的重点内容。 二维问题：二个基本坐标变量，如平面问题。是本课程的重点内容。 三维问题：三个基本坐标变量，即空间问题。是本课程需了解的内容。 空间问题的基本未知量与方程 任何一个弹性体是空间物体（坐标变量为x、y、z），外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。 对于空间问题，在弹性体区域内，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。 空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。 空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 §5.2 物体内任一点的应力状态分析 1：求经过该点任何斜面上的应力p？ 2：求经过该点的任何斜面上的正应力sn和切应力tn ？ 3：若经过该点的主应力s和应力主方向a ？ 4：求经过该点的正应力sn和切应力tn 的最大和最小值？ 一点应力状态分析：已知任一点处坐标面上的6个应力分量，求解如下四个问题： 过一点任意斜面的全应力 问题1：