第6章 数值积分幻灯片.pptVIP

练习题 解： 由复化梯形求积公式： 由复化Simpson求积公式： 用 复化梯形、复化Simpson求积公式计算积分 四、Gauss型求积公式 本节介绍具有最高代数精度的数值求积公式，即Gauss型求积 插值型求积公式（并未要求取等距节点）的代数精度至少为 公式。 形如 ，使得 两点的求积公式为： 两点的Newton-Cotes求积公式是等距节点的梯形公式： 其代数精度为1。 若不限定取等距节点，则可适当地选取 分别取 时, 可得到如下非线性方程组： 即 至少具有3次代数精度，又取 时， 。 故具有3次代数精度。 这样如果我们用代数精度最高原则，通过求解 阶 非线性方程组来确定所有 和 (共 个待定系数)， 就可以构造出具有 次代数精度 的数值积分公式。 如果n+1个点的求积公式具有代数精度 次，则称其为Gauss型求积公式，并称其中的求积节点 为Gauss点. 定义 6.2 定理5.2 要使插值型求积公式 与所有次数不超过 的多项式在 上关于权函数 正交。 要使插值型求积公式 定理 6.2 （6-33） 具有 次代数精度，必须且只须以节点 为零点的 次多项式 由定理 6.2 可知： 是Gauss点 是Gauss点 是 的零点。 例1 求 上关于权函数 的Gauss型求积公式。 解：构造二次正交多项式 ， ， 令 得 取 或 取 ，由代数精度的定义，得线性方程组 则得具有3次代数精度的Gauss-Legendre公式： 则有 ，这样 。 对于任意区间 上权函数 的Gauss型求积公式， 只需作变量替换： 例 构造求解 的具有3次代数精度的数值积分公式。 ，此Gauss型求积公式具有2个 ，则取Gauss节点： 求积系数： 从而，得 解：由 Gauss节点。作变量替换： 例2 确定 使以下的求积公式为Gauss型求积公式 解：首先构造 上关于 的首项系数为1的二 次正交多项式，为此可设 ， ， ，从而有 ， ， 。 则 其零点为： 令 ，用代数精度定义得： 从而 。 一、数值积分问题 由 Newton-Leibniz 公式，连续函数 在 上的定积分 其中 是 的原函数。 ， ， Newton-Leibniz公式已经无能为力。 但是在一些实际计算中， 不能用初等函数表示 ， ， 没有解析表达式，用表格方式给出时 大多数的无穷积分，除特殊的无穷积分外 例如 虽然找到 的原函数，但是它比被积函数复杂的多 以上各种情形需要利用数值积分公式进行近似计算。 （6-1） 设 是定义在 上的可积函数，考虑带权积分 在 上非负可积，且至多有有限个零点。 其中权函数 所谓数值求积就是用如下形式的公式 近似计算 的值。 ． （6-2） 数值求积公式 公式（6-2）称为数值求积公式， 是与 无关的常数，称为求积系数， 其中 上的点 称为求积节点。 求 积 系 数 求积节点 由积分中值定理： 但是 的具体位置不可确定。 其几何意义为： 数值积分公式的简单实例 矩形 的面积= 曲边梯形 的面积。 我们可以采用不同的近似方法得到下述数值求积公式： 称为左矩形数值求积公式； 称为右矩形数值求积公式； 称为中矩形数值求积公式； 二、 插值型数值求积公式—Newton-Cotes公式 上选取插值节点(求积节点）： 在 则 可表示为它的Lagrange插值多项式及其余项之和，即 所以 利用 的插值多项式可以得到插值型求积公式。 称为 点的 插值型求积公式，其中求积系数 这样得到的插值型求积公式 求积余项 （称为步长），将分点 取为插值节点（也是求积节点）， 得到的数值求积公式称为 Newton-Cotes 公式。 进行 等分，令 将 则 可表示为它的Lagrange插值多项式及其余项之和，即 所以 本节采用的逼近函数是 在等距节点上的插值多项式， 称为 点的 Newton-Cotes 公式，其中求积系数 这样得到的插值型求积公式 求积余项 时的两个公式， 在Newton