代换在不等式解题中的应用.docVIP

代换在竞赛不等式中的应用 査正开 江苏省常熟市中学 215500 zhazhengkai3@163.com 摘要：以国内外数学竞赛题（或改编题）的解答为例，介绍在处理不等式问题中的七种基本代换，即目标代换、三角代换、常量代换、对偶代换、均值代换、增量代换、条件代换的方法和作用；并给出附有简答与提示的配套练习题，以使读者能及时反馈掌握. 关键词：竞赛不等式 基本代换 数学解题就是把未知问题通过正确的推理转化为已知结论的过程.它的核心内容就是化归，而化归的首要环节就是代换，因而合理的代换就成为解题的关键.本文举例介绍在数学竞赛类不等式问题中常用的基本代换，供读者参考. 1．目标代换 根据所求结论的结构特征，结合已知条件，做出合适的目标代换. 1.1 简单对称代换 例1：已知，求证：. 分析：这是一个经典的不等式，曾多次作为竞赛题，证法很多.本题难点在于分母为多项式故可将分母作简单对称代换即可. 证明：设，则， . 原不等式 . 由均值不等式知此式显然成立，从而原不等式得证. 说明：通过代换，把分母变成单项式便于处理，当然也可利用柯西不等式加以证明. 1.2 部分特征代换 例2：设为非负实数，求证：. 其中表示循环和（《中等数学》 数学奥林匹克高中训练题（135）加试二）. 分析：这是一个难度较高的不等式证明题，根据循环和的本质，采用对称轮换进行代换. 证明：设,原不等式 . 由柯西不等式 , . 说明：通过代换实际上达到了消元的效果. 1.3 整体代换 例3：已知实数，且满足: ， 试求的最大值（《数学通报》2011年3月号问题1993）. 分析：原问题所提供解答（文[1]）采用三角代换进行处理较繁琐，技巧性又较强，再加上排版错误，很难让读者理解.其实只要把条件变形一下，再整体代换即可. 解：原条件化为，设，则 ， 则且， . 利用抽屉原则：，，中至少有两个不小于或者不大于，不妨设， , . 又 , . 当且仅当即=1时取等号，最大值为3 说明：通过代换可达到简化效果，值得注意的是巧用抽屉原则来证明不等式堪称一绝. 1.4 参数待定代换 例4：已知实数满足，求的最大值(2009年浙江省高中数学竞赛预赛题). 分析：引入参数，，再应用均值不等式待定系数加以处理. 解：设，根据目标，联想均值不等式,若 , 因，故 ，， 的最大值为. 说明：这种代换通过分析可有效沟通条件与结论之间的联系. 2．三角代换 把问题通过代换转化为三角（或三角形）的一种代换，具有广泛的应用性. 2.1三角代换 例5：若且，证明：（第15届伊朗数学竞赛试题）. 分析：这个代数不等式其条件是分式，结论是根式，直接证明较复杂，可考虑三角代换. 证明：设， 则条件简化为 ，. 待证不等式转化为 . 这就是柯西不等式的三元情形，原不等式成立. 说明：这种代换既考虑到去掉结论中的根号，又兼顾到条件中的倒数问题，起到了“一石二鸟”的功效. 2.2三角形代换 例6：设，求证 . 分析：本题是一个很优美的不等式，如果引入变换，则 可以化为一个三角形的三边. 证明：令，则 即转化为证 , （《数学教学》问题73） （1983年瑞士数学竞赛题）. 因 ， . 所以，当且仅当即时取等号. 说明：这种代换是联系代数不等式与三角形不等式的有效途径. 3．常量代换 把已知条件或常数进行置换的一种代换，可使问题得到简化明朗. 例7：若且，求证：. 分析：这是安振平老师在文[2]提出的二十六个优美不等式中的第十九个不等式，它可通过三角代换或构造函数给以证明，但若采用常量代换，即把“3”置换成“”更简捷. 证明：原不等式等价于,将“3”置换成“”，则它又等价于 . 不妨设，则，.若，不等式显然成立; 若，则同例6一样可证 , 从而原不等式成立. 说明：通过代换可有效利用条件，使不等式齐次化（一般化）. 4．对偶代换 通过构造对偶式子达到解题目的. 例8：设且，求证 （24届全苏数学竞赛）. 分析：根据不等式结构特征，可考虑构造原不等式左边的对偶式来证明. 证明：设 则 , . 因为 ， 即,从而原不等式成立. 说明：这种通过构造对偶式解决问题，充分体现出数学的对称和谐之美. 5．均值代换 它是均衡换元的一种代换，既可对条件实施，也可对结论实施. 例9：已知，求证：。 分析：本题要证明，可设进行均衡代换，从而实现减少未知数，简化式子的目的. 证明：令，不妨设，设 因为 ， 因 ， ， 故，. 说明：通过此种代换达到减元增设的效果. 6．增量代换 根据有些不等式的式子特征，采用增量代换可有效简化因式. 例10：设，则 证明：①当，设，则 当且仅当即时取等号. ②当，设，则 当且仅当即时取等号，根据式子特征其它情形同样可证，所以原不等式成立. 注：通过增量代换使问题得以