数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1双曲线的简单几何性质 1.ppt

2．3．2　双曲线的简单几何性质 第一课时　双曲线的简单几何性质 1．通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质． 2．了解双曲线的渐近性，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题． 1．双曲线的简单几何性质 思考1　双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？ 2．等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是 ． 思考2　等轴双曲线的方程的一般形式怎样？离心率是什么？ 1．求双曲线的简单几何性质应注意的问题： (1)应注意双曲线与椭圆的几何性质的异同点，不可混淆．如椭圆有4个顶点，双曲线只有两个顶点；椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率e∈(0,1)，而双曲线的离心率e1等． (2)要注意双曲线中的常量与变量，即双曲线的实轴长2a，虚轴长2b，焦距2c，离心率e以及a2＋b2＝c2的关系都与坐标系的选取无关，是常量；而焦点坐标、顶点坐标、对称轴、渐近线方程都随坐标系的改变而改变，是变化的量． 2．根据双曲线的标准方程求其渐近线方程的方法： (1)画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线斜率的确定； (2)将双曲线标准方程等号右边的1改为0，化简即可得双曲线的渐近线方程，这也是常用的方法． 在解题时一定要注意实轴与虚轴、实轴长与半实轴长、虚轴长与半虚轴长的区别，不可混淆． 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 　 已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 求双曲线4y2－9x2＝－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 【分析】　(1)中给出了焦点所在的位置，只需求出几何量a，b的值，便可得到相应的标准方程；(2)中双曲线的焦点位置不明确，应首先讨论焦点所在的位置，再根据已知条件求相应的标准方程． 已知双曲线的焦点坐标和顶点坐标，可确定双曲线方程的形式；已知离心率、实轴长和虚轴长，都不足以确定双曲线方程的形式，解题时需分两种情况讨论． 【分析】　将焦点F1(c,0)横坐标代入方程，得点P的纵坐标及|PF1|；运用∠PF2Q＝90°，建立a，b，c之间的关系，从而求出双曲线的离心率． 【分析】　解答本题关键是建立基本量a，b，c的关系，由已知条件和点到直线的距离公式不难获得，但应注意对a，b，c关系式的正确转化，同时注意离心率e1这个隐含条件． 　 本例条件中“ab0”若改为“ba0”，结果如何？ 答案：e＝2 答案：A * 渐近线 e＝∈ . 离心率 实轴长＝ ，虚轴长＝ . 轴长 顶点 对称轴： ，中心： . 对称性 或 ，x∈R ，y∈R 范围 焦距 焦点 性质 标准方程 (±c,0) (0，±c) 2c 2c x≥a或x≤－a y≥a y≤－a x轴和y轴 (0,0) (±a,0) (0，±a) 2a 2b (1，＋∞) 等长 y＝±x 【分析】 * *