可口可乐易拉罐.pptVIP

可口可乐罐头为什么是这种样子 问题 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的? 知识准备 体积给定的圆柱体, 其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少? 表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有 ： 它顶盖的直径和从顶盖到底部的高: 约为6厘米和12厘米. 中间胖的部分的直径约为6.6厘米，胖的部分高约为10.2厘米. 可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升(即 355 立方厘米). 简化模型——分析和假设： 首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. 实际上，饮料罐的形状是绕其中轴线旋转而成的立体图形。 用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作 , 顶盖的厚度为 . 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积. 设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数, 是待定参数. 饮料罐侧面所用材料的体积为 饮料罐顶盖所用材料的体积为 饮料罐底部所用材料的体积为 所以, SV 和 V 分别为, 因为br , 所以带 的项可以忽略 因此: 建立以下的数学模型： 其中 S 是目标函数， 是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h 和 使得 r, h 和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 模型的求解： 一种解法(从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题) 从 解 ,代入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使 最小. 求临界点: 令其导数为零得 解得临界点为 因此 测量数据为 h/d=2, 即 , 即顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 为验证这个 r 确实使 S 达到极小。计算 S 的二阶导数 所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为临界点只有一个, 因此也是全局极小. 验证和进一步的分析： 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为 即装不下那么多饮料，为什么？模型到底对不对? 按照 , V = 365立方厘米, 可以算得 r = 3.074 厘米. 一种可能的考虑. 粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘米, 高为 10.2 厘米的圆柱体. 它们的体积分别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米. 验证 通过测量重量或容积来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克. 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留有 10 立方厘米的空间余量. 探讨 更有意思的是, 计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黄金分割比 0.618. 这是巧合吗? 还是这样的比例看起来最舒服, 最美? 探讨 此外, 诸如底部的形状, 上拱的底面, 顶盖实际上也不是平面的, 略有上拱, 顶盖实际上是半径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而成的, 从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求, 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定. 因此, 我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程, 只依靠数学知识是不够的, 必须和实际工作者的