浙江大学现代测试技术第二讲作业.docVIP

第二讲作业解答 3. 试说出离散及连续信源信息量的量化公式，并解释其中各变量。 答：，I(xi)是信源输出状态发生所含有的信息量，在离散的信源信息中P(xi )(i 1,2,..., N) 为各个状态出现的概率（可能性），在连续的信源信息中P(xi )是随机变量的概率密度函数，对数的底数a 大于1。 4. 什么是最大离散熵定理？试举例说明。证明当信源有两状态时 的最大离散熵定理。 答：在离散信源中，当信源的输出符号是等概率分布时，信源的熵去最大值，这就是最大离散熵定理。例如，假设信源有两个状态，P(x1）=0.5, P(x2）=0.5,则熵为H1(X)=-(0.5log20.5+0.5log20.5)=1,而当P(x1）=0.25, P(x2）=0.75时,则熵为H2(X)=-(0.25log20.25+0.75log20.75)=0.811。显然H1(X) H2(X)。 证明：当信源有两状态时， 12. 试解释相关函数的由来。以正弦信号为例解释自相关函数和互 相关函数的性质。 答：相关函数描述了两个信号之间的关系或相似程度，也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系，或者根据过去值、现在值来估计未来值。 自相关函数的性质： 自相关函数是τ的偶函数； 当τ =0时，自相关函数具有最大值； 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。 例如正弦函数的自相关函数为 为偶函数。 当τ =0时，取得最大值1，进而使取得最大值。 可以看出和是具有同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。 互相关函数的性质： 1）互相关函数不是偶函数，但有。 2）互相关函数的最大值不一定发生在τ =0处。 3）两同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。 4）两个非同频的周期信号互不相关。 例如正弦函数和正弦函数的互相关函数为 Ryx(τ)= cos(wτ+θ) 可以看出互相关函数不是偶函数，但有。 当wτ-θ=0时取得最大值，最大值不一定发生在τ =0处。 这两个同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。 又例正弦函数和正弦函数的互相关函数为 可以看出两个非同频的周期信号互不相关。 13. 现有一测得的相关函数图形，如题图。试问这个图形是自相关 函数还是互相关函数图形？从图形中可以得到原信号的哪些信息？ 答：此图是互相关函数的图形。从图形中可以得到的信息有原信号的周期（频率）和相位信息。 14. 在频域分析中，周期信号、非周期信号以及随机信号分别可采 用哪些物理量加以描述？这些物理量是如何定义的？每个物理量 的单位是什么？ 答：1）周期信号可以用幅值谱、相位谱及功率谱描述。 ?? 幅值谱——之间的关系。 ?? 相位谱——之间的关系。 ?? 功率谱——之间的关系。 2）非周期信号可以用幅值谱密度、能量谱密度和相位谱密度描述。 幅值谱密度：；能量谱密度：；相位谱密度：。 3）随机信号可以用自功率谱密度与互谱密度描述。 自功率谱密度：； 互谱密度： 。 15. 什么是维纳-辛钦公式？试证明之。 答：平稳随机过程的自功率谱密度与自相关函数是一个Fourier变换偶对，即。 证明： ＝ 交换积分和数学期望顺序 ＝ ＝ 设，，则，所以： 则 ＝ ＝ ＝ ＝－ ＝ 证毕。 17. 什么是相干函数？试采用系统输入和输出的互谱密度函数以及 自谱密度函数描述系统的频率响应函数，并证明之；同时说明相干函数的物理意义，并解释之。 答：相干函数。 利用互谱密度函数可以定义相干函数 可以证明；在系统的辨识中相干函数可以判别y(t)与输入x(t)之间的关系,当的时候说明y(t)与输入x(t)完全相当,当时说明y(t)与输入x(t)的过程中由噪声干扰,或者存在着系统的非线性关系. 其物理意义是: 相关函数描述了两个信号之间的关系或相似程度，也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系，或者根据过去值、现在值来估计未来值。 18. 什么是巴什瓦等式，采用相关定理证明之。并说明它的物理意义。 答：巴什瓦等式。 证明：由相关定理知，所以 ， 当 ，又，能量有限信号的自相关函数 ，当，因此有 则该等式得证。 物理意义：对于能量有限信号，时域内的曲线所覆盖的面积等于频域内所覆盖的面积。也就是说，时域内信号的能量等于频域内信号的能量，信号经过傅里叶变换前后的总能量保持不变。 19. 结合巴什瓦等式及等式证明自功率谱密度与幅值谱密度的关系为 答：，根据巴什瓦等式，上式可以写为，由于，所以可以得出。 20. 什么是卷积定理？试证明之。 答：若 ?? 时域卷积定理： 证明： 频域卷积定理：如果，则有 证明：