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对《两角差的余弦公式》推导的思索 315175 同济中学 徐峰 数学概念、公式是自然的，不是强加于人。知识背景、形式过程，应该是合情推理、水到渠成的。学习贵于疑，而问题是数学学习的“心脏”。通过创设问题情境，引入需要学习的内容，然后引导学生自己发现问题，提出问题，思考问题，经历实践动手，自主学习，主动探索，不断地从具体到抽象，从特殊到一般，形成批判性的理性思维和严谨的科学态度。 首先通过章头图实际问题的引入，又作恰当的数据改变，起点要低，要浅，让学生感受到研究两角差的余弦公式的必要，通过求的特殊问题，引起学生学习兴趣。学生能轻易地解决，然后作相应的推广，引发知识矛盾冲突，同时明确探究目标。推导过程分四个层次：一是直觉精神，主要通过计算猜想，两角差余弦公式，特殊验证，作出初步决策。二要适当的点拨推广，在为锐角的情形下，在初中平面几何知识内的探究。要贴近学生实际知识水平，从头至尾要反思探索过程，让学生回忆高中数学知识中的三角函数定义及单位圆上的三角函数线来研究问题，这样从多种途径对《两角差的余弦公式》的推导，有助于学生理解公式，加强数学内容之间的联系，增加学生利用已学过的知识来解决实际问题的机会，只是上面的推导过程比较繁难，而且都在特殊情况下进行。三是对一般情形探究，主要是应用三角函数定义，向量的数量积的知识来推导，让学生体会运用向量工具进行探索，过程多么简洁，从而进一步深化向量的丰富知识背景。认识它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，运用向量解决问题可以发展自身的推理能力和运算能力，然后让学生发现推导过程不严谨之处，请学生补充完善。四是对探究过程的反思升华，应用三角函数定义及两点间距离公式推导公式。这样教学过程符合数学研究问题的规律。使学生感受到学习探究过程中是不断猜想，不断矫正，从特殊到一般的思考过程。 展示实例，创设情境素材 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图1所示，在地平面上有一点A，测得A、C两点间的距离为a米，从A观测电视发射塔的视角（）约为，，求①AD的长度，②的值？（由学生作答） 解：作CEAD交AD于E，在Rt中，CE=，AE=，在 Rt中，，ED=，从而计算出AD=， 在Rt中，AB==，在Rt中， cos15==。 问题悬念，激发知识矛盾 你认为cos15= cos（45—30）= cos45—cos30正确吗？学生答出cos45=，sin45=,cos30=，sin30= 。经验证显然不成立。 学生会猜想出cos15= cos（45—30）= cos45 cos30+ sin45 sin30 或sin45 cos30+ cos45 sin30，这样引发困惑，激起决策欲望。通过特殊验证，让学生计算cos10= cos（30—20）= cos30 cos20+ sin30 sin20，还是sin30 cos20+ cos30 sin20，作出初步选择，学生学习发现计算可猜想出初步结论，培养直觉的数学观察能力。教师也可以通过《几何画板》来直觉猜想，作相应的点拨推广：当45改为 ，30改为时，cos（）= cos cos+ sin sin，对任意的，是否成立？抛出问题，激发探索的欲望。要提醒学生我们先从均为锐角情形下来推导，验证。我们仍用图1来解决问题，所用知识只是初中平面几何知识和三角函数定义。 解：Rt中，cos（）=，令AC=a=1，此时，cos（）=AB，在Rt中，cos =，sin= ，在Rt中，cos=AE，sin=CE，在Rt中，=tan，从而发现等量关系：cos（）=AB= cosAD= cos（AE+ED），AE+ED= cos+ED= cos+EC tan= cos+ sintan，cos（）= cos（cos+ sintan）= coscos+ sin sin 这样处理，放低了知识要求，学生容易推导，激发推导欲望。 三、展开联想，回归定义引申 由于涉及的是三角函数问题，学生会考虑回到基础定义，可用单位圆上的三角函数线来推导，教师要利用多媒体，积极引导学生经历作角——找线——找探求过程中的等量关系。方法1是教材中已有（从略），关键在于罗列已有条件，利用几何直观寻找OM的表达式。但有学生不是利用图3作角的方法，于是有图4所示。 解：作，，，ACOB于C，连AB，A（cos，sin），B（cos，sin），则cos（）=OC，AC=sin（），在Rt中，AC= sin（）， CB=1-c