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中考数学专题复习三角形
一. 教学内容:
复习三角形
二. 知识回顾
1、三角形的定义,三角形的三边关系定理,与三角形有关的内角和外角定理。
2、三角形的全等判定定理与全等三角形的性质定理。
3、三角形的中位线定理。
4、相似三角形的判定定理与相似三角形的性质定理。
【典型例题】
例1、有5根木条,其中2根完全相同,它们的长为8cm,另外3根分别长4cm,10cm和12cm,用其中的3根组成一个三角形,问:可组成多少个三角形?
解:将这5根木条从短到长依次排列为4,8,8,10,12(单位:cm)
∵要组成一个三角形的三条边必须满足任意的两条边之和大于第三边长,∴运用枚举法可知,能组成一个三角形的三条木条为(4,8,8),(4,8,10),(4,8,12),(8,8,10),(8,8,12),和(8,10,12)共六种情况,∴可组成六个不同的三角形。
例2、如图的△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2,……,依次类推,设∠A4BC与∠A4CD的平分线交于点A5,求∠A5的大小。
解:从特殊到一般地去思考,去寻找规律。
∵A1B,A1C分别平分∠ABC与∠ACD
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2(∠A1CD-∠A1BC)=2∠A1
∴∠A1=∠A
同理,可证得,作
∴∠A5
例3、△ABC中,高线AD与BE相交于点H,且BH=AC
求∠ABC的度数。
解:本例没有给出图形,解题时应先根据题意画出相应的图。
注意到三角形中高线可在三角形内,边上或三角形外,∴应该分类讨论求解。
但根据题意,本例的图形只有两种情况。
(1)若△ABC为锐角三角形(如图所示)
∵AD⊥BC,BE⊥AC
∴∠ADB=∠AEH=90°
∴∠1=∠2
又AC=BD
∴Rt△ADC
∴AD=BD
∴∠ABC=45°
(2)若△ABC为钝角三角形(如图所示)
由已知可证得△ACD≌△BHD
∴AD=BD ∴∠DBA=45°
∴∠ABC=135°
∴由①、②可知,∠ABC=45°或∠ABC=135°
例4、如图,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD。
求证:AD平分∠CDE。
证明:本例可考虑用旋转的方法求解。
连接AC,将△ABC绕点A旋转120°,到△AEF
∵AB=AE,∠BAE=120°
∴AB、AE重合
又∠ABC+∠AED=180°
∴点D、E、F共一条直线,AC=AF
在△ACD和△AFD中,DE+EF=DE+BC=CD
AF=AC
∴△ACD≌△AFD ∴∠ADC=∠ADF,即AD平分∠CDE
注:若在CD上取CF=DE,连接BF,AF,EF,你能证明AD平分∠CDE吗?
例5、如图AD,CE是△ABC的高线,,,求①AB长;②sin∠BAC的值。
解:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,∠ABD=∠CBE
∴Rt△ABD∽Rt△CBE
又∠DBE=∠ABC,∴△BDE∽△BAC
(2)
【模拟试题】(答题时间:50分钟)
1、△ABC中,∠A=3∠B=6∠C,则求△ABC中的最大角的度数。
2、等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和8两部分,求它的底边长。
3、△ABC中,D在BC上,若AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。
4、等腰三角形的两边长分别是方程的两根,求三角形的周长。
5、Rt△ABC中,一条直角边长为11,另两边长恰为正整数,求它的周长。
6、如图,△ABC中,AB的垂直平分线NE交BC于E,AD⊥BC,EF⊥AC,交AD于G,∠B=22.5°,求证:DG=CD。
7、△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E在AC上,CF⊥BE于F,求证:△BDF∽△BEA。
8、△ABC中,DE垂直平分BC,D为垂足,与AC交于E,又AB=AD,AD、BE相交于F,求证:①△BDF∽△CBA;②AF=DF。
9、如图,△ABC中,CD、DB分别平分∠ACB和∠ABC,设∠A=α。
(1)用含α的代数式表示∠CDB。
(2)把图中“CD平分∠ACB”改为“CD平分∠ACB的外角”,怎样用含α的代数式表示∠CDB?
(3)把图中“CD,DB平分∠ACB和∠ABC”改为“CD,BD分别平分∠ACB和∠ABC的外角”时,怎样用含α的代数式表示∠CDB?
10、梯形ABCD中,AB//CD(ABCD),AB=125,CD=DA=80。
问:对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形?若能,求出BC,BD的长;否则请说明理由。
【试题答案】
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