错位相减法数列求和的基本方法和技巧.docVIP

数列求和的基本方法和技巧 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 已知，求的前n项和. 解：由 由等比数列求和公式得 ＝＝＝1－ 已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求。 解：当x=1时， 当x≠1时，为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得 ＝ （07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列． （1）求数列的等差数列． （2）令求数列的前项和． 解：（1）由已知得解得． 设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列的通项为． （2）由于由（1）得 ， 又 是等差数列． 故． 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式） ∴ ＝ ＝＝ ∴ 当 ，即n＝8 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和：………………………① 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}{}的通项之积 设………………………. ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ 求数列前n项的和. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①（设制错位） ………………………………② ①－②得 ∴ （07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和． 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且 解得，．所以，．（Ⅱ）．，①，② ②－①得， ． 等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；（11）当b=2时，记 求数列的前项和 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,, 当时,, 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 （2）当b=2时，,则 相减,得 所以 函数，当时，的所有整数值的个数为 （1）的表达式（2）设，求 （3）设，若，求的最小值 解：（1）当时，函数单调递增，则的值域为 （2）由（1）得当为偶数时 = 当为奇数时= = （3）由得 两式相减得 ，则由，可得的最小值为7 （2010四川理）（21）（本小题满分12分） 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－＝＝－＋＝＝＝＝－＋＝∈N *时，由已知(以n＋＋＋－＝＋＋＋＋－＋－－＋－－＝＋－＝＝－＝＝－－－＝－＝＝－＋－＝－＋＝－＋＝＝－＝＝＋＋＋……＋＝＋≠1时，Sn＝＋·q1＋·q2＋……＋·qn－＝＋·q2＋·q3＋……＋·qn. 上述两式相减得 (1－＝＋＋＋……＋－－＝·－＝· 所以Sn＝·综上所述，Sn＝中，是数列的前项和，对任意，有 ；⑴求常数的值； ⑵求数列的通项公式； ⑶记，求数列的前项和。 解：（1）由及，得： （2）由 ① 得 ② 由②—①，得 即： 由于数列各项均为正数， 即 数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式是 （3）由，得： （2009广东三校一模）,是方程的两根,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和. 解：(1)由.且得 , 在中,令得当时,T=, 两式相减得, . 8分 (2), 9分 ,, 10分 =2 =, 14分