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第二章 第四节 函数的奇偶性及周期性 一、选择题 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　) A．y＝－x3，xR B．y＝sin x，xR C．y＝x，xR D．y＝x，xR 答案：A 2．(2011·辽宁高考)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A. B. C. D．1 解析：f(x)＝是奇函数，利用赋值法， f(－1)＝－f(1)． ＝－， a＋1＝3(1－a)，解得a＝. 答案：A 3．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 011)＋f(2 012)＝(　　) A．3B．2 C．1 D．0 解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 011)＋f(2 012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2， 所以f(2 011)＋f(2 012)＝1＋2＝3. 答案：A 4．(2012·杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1. 则f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋2×1－1＝3，f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案：A 5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) y＝f(|x|)；y＝f(－x)；y＝xf(x)；y＝f(x)＋x. A． B． C． D． 解析：由奇函数的定义验证可知正确． 答案：D 二、填空题 6．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________. 解析：令x0，－x0，g(－x)＝－2x－3. g(x)＝2x＋3.f(x)＝2x＋3. 答案：2x＋3 7．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于________． 解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)， 又f(x)为奇函数，f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2. f(7)＝－2. 答案：－2 三、解答题 8．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数aR)．讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由． 解：当a＝0时，f(x)＝x2， 对任意x(－∞，0)(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)． f(x)为偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)， 取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0， f(－1)－f(1)＝－2a≠0， f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)． 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 9．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x0，则－x0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]． 10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得 f(π)＝f[－1×4＋π]＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S， 则S＝4SOAB＝4×＝4.