初等数学研究复习.docVIP

第一章 1、自然数集是有序集 自然数集具有阿基米德性质 即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使nab 自然数集具有离散型 即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b，使aba’ 4、最小数原理 ３、整数集的性质 ①整数集构成一个交换环 ②整数集是有序集 ③整数集具有离散型 ④整数集是可列集 1、有理数集是一个数域 2、有理数集是一个有序域 3、有理数集Q+具有阿基米德性质 4、有理数集具有稠密型 5、有理数集是一个可列集 ①实数集是一个有序域 ②实数集R+具有阿基米德性质 ③实数集具有连续性 ④实数集是不可数集 复数集是一个数域 2、复数域不是有序域 3、在复数域内，开方运算总可实施。任何非零复数有且只有n个不相等的n次方根。 第二章 初等函数 1、基本初等函数 2、定义:初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。 判断下列函数是否是初等函数？ 判断：是否为同解变形？增根还是失根？ 判断：是否为同解变形？增根还是失根？ 判断：是否为同解变形？增根还是失根？ 解方程常用的方法 1、換元法 证明不等式的常用方法 2、比较法 欲证AB,即证A-B0（作差法） 或A/B1(作商法） 3、分析法 4、換元法（等量代换法） 4、換元法（等量代换法） 五、反证法 6、放缩法（不等量代换法） （1）欲证AB，先证AC且CB(这是放大) （2）欲证AB，先证BD且DA（这是缩小） 放缩法 放缩法常见的一些技巧： 舍掉或加进一些项 放大或缩小分子或分母． 运用基本不等式 利用函数单调性 7、构造法 构造函数 构造的函数通常有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数等，证明过程中用函数的单调性，函数值的范围，二次函数的判别式等． 构造图形 8、数学归纳法 位置关系的证明 1、平行的证法 2、垂直的证法 3、共线点的证法 4、共点线的证法 5、共圆点的证法 圆内角定理：园内角等于它所对的弧与它对顶角所对弧的度数的和的一半。 圆外角定理：圆外角等于它所对的弧的度数的差的一半。 例：设四边形ABCD同时有外接圆和内切圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直。 1、定义：判定三点或三点以上的点位于同一直线，谓之共线点问题。 2、基本方法 ①对顶角之逆 ②邻角互补 ③平行线的唯一性 ④垂线的唯一性 ⑤证明三点在某一定直线上 ⑥证明两点连线与某定直线的交点是第三点 ⑦证三点中两两连线的线段有和差关系 ⑧证三点所成的三角形面积为0 ⑨证得以其中一点为对称中心，其余两点为对称图形的一对对应点 ⑩利用梅涅劳斯定理 还可以利用斯特瓦特定理的逆定理，反证法等等 斯特瓦特定理 补充知识---------三角形的五心 1、重心：三角形三条中线的交点。 （这点和各边中点距离等于这条中线的1/3） 2、垂心：三角形三条高或高的延长线的交点 3、外心(外接圆的圆心）：三角形三条边的中垂线的交点。 （这点到三角形三个顶点的距离相等） 4、内心（内切圆的圆心：三角形三条内角平分线的交点。 （这点到三角形三条边的距离相等） 补充知识---------三角形的五心 5、旁心：旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 三角形的一条内角平分线与其它两个角的外角平分线交于一点。这个点到三角形的一边及其他两边的延长线的距离相等，这就是三角形的旁心。 注：三角形有三个旁心 证明：在任一三角形中，外心、 垂心和重心共线————欧拉线。 证明：设H、O、G分别是三角形ABC的垂心、 外心、和重心。作BC边的中线AD交BC于D，因为 AG=2GD,AH=20D,∠GAH=∠GDO 所以⊿AGH≌⊿DGO 则有∠AGH=∠DGO 即H、G、O三点共线 共点线的证法 体现三角形重要属性的五心------重心、垂心、外心、内心、旁心，全是三线共点的产物。 证三线共点的常见思路： 1、证明各线都过某个定点 2、证明两直线的交点在第三条直线上 3、利用西瓦定理 4、利用对称图形的对应点的连线共点于对称中心 5、利用根心定理 西瓦定理 设X、Y、Z分别是⊿ABC的BC、CA、AB边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则AX、BY、CZ三线共点或互相平行的充要条件是 例：证明三角形三条高线共点。 证明：三角形的三条中垂线交于一点（外心） 答案:是，是，不是，不是，不是，是 2、因式分解法 3、图像法 y x