初等数学研究(九)尺规作图.pptVIP

何谓几何作图 假设给定了一些条件，要求使用规定的工具作出具备这些条件的图形，便是作图问题。运用已知条件，按照一定方法，把作图题所求作的图形作出的过程，叫做解作图题。 二、尺规作图 1．尺规作图 限用无刻度的直尺和圆规两件工具，经过有限次手续，可以完成的作图，称为尺规作图。或者初等几何作图。 2．作图公法　 在初等几何里约定，利用直尺和圆规可以并且只能完成下列三种简单作图，用以限定作图工具的功能，尺规作图的可能范围是： (1)通过已知两点可以作一条直线(欧几里得五公设之一)； (2)以已知点为圆心，以已知距离为半径，可以作一个圆(也是欧几里得五公设之一)； (3)作两已知直线，或一已知直线与一圆，或两已知圆的交点(在相交的情况下)。 以上三种简单作图称为作图公法。 3.尺规作图不能问题　 　　　不过你要注意：尺规作图不能问题与该问题无解不是一回事。如，古希腊三大几何难题虽是尺规作图不能问题，但并非无解哟。 4．尺规作图解题步骤(六步) (1)已知：将题设条件具体化，结合图形用字母表示已知； (2)求作：具体叙述所图形应满足的条件； (3)分析：假定图形已被作出，绘出草图，研究已知条件和求作图形的关系，得出作图的线索，判明所求图形应如何作出； (4)作法：依次叙述作图的过程(一般不要夹杂证明) (5)证明：论证按“作法”作出的图形符合条件； (6)讨论：说明求作的图形在什么情况下有一解、多解或无解。 5．定位作图与活位作图　　 　　如果求作的图形必须作在指定的位置，便叫做定位作图； 如果求作的图形，只要求满足一定的条件，至于画在什么地方可以不计较，便叫做不定位作图(活位作图)。 6．作图题解的个数 (1)在定位作图中 (2)在不定位作图中 课程标准对“尺规作图”的要求： 　①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。 　②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 　③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。 　④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 三、基本作图问题(作图成法)　　　　　　　　　 　　基本作图问题，通常称为作图成法。是解决作图问题的基础，掌握它们之后，在解作图题时，象引用定理一样可直接使用，不必叙述本身的作图过程，减少解题阐述。 1.交轨法 在尺规作图中，通常归结为先确定某一主要点的位置，而一个点的确定一般应满足两个条件。舍去一个条件，则该点在满足另一个条件的点的轨迹上；舍去另一个条件，则该点又在满足这一个条件的点的轨迹上。于是同时满足两个条件的点应为两个轨迹的交点。 用两个轨迹相交定点的作图方法，称为轨迹交接(割)法，简称交轨法。 交轨法举例： 例1． 求作与定⊙O相切于定点M，又与定直线l相切的圆。(如图) 2．三角形奠基法 在尺规作图中，如果求作图形可归结为先作出某个三角形奠定全部图形的基础，然后，在此基础上作出图形中的其余部分，那么这个作为基础的三角形就称为基础三角形，这种作图方法称为三角形奠基法。 讨论： (1)当ha、ma、ta三者有两个相等时，△ABC应为等腰三角形。这时若三者不都相等，便无解，若都相等，便成不定问题，即有无穷多解； (2)当ha、ma、ta三者互不相等时，要解答存在，首选要能作出△AHM ，其次要能作出P点并且P和A还要落在HM的异侧，B、C才能存在。要保证这些事项，就非得T介于H和M之间。总之，当互不相等时，有解的条件是：ha＜ta＜ ma　当这些条件满足时有一解。 3.合同变换法 在尺规作图中，利用平移、旋转、反射以及它们相继使用，把图形的一部分移到某些特定位置上，构成作图条件，完成作图。这种作图方法称为合同变换法。 4．位似变换法 　 在尺规作图中，当所求图形直接作图不太方便时，可以先在适当的位置作出所求作图形的相似形，然后应用位似变换，以放大或缩小，得所求作图形，这种作图方法称为位似变换法。 五、正多边形的尺规作图 六、几何作图不能问题 古希腊的三大尺规作图不能问题 ①三等分任意角问题 小结 　　 　尺规作图是初等几何学习中过程中不可缺少的一种作图方法，自然是一位中学教师应了解和学习的内容之一。 二、 关于投 影 与 视 图 一、图样的要求 1.明显性：明显地、全面地反映所表达的空间物体的原形，直观，使人一目了然； 2.可量性：能够准确